Trouver le noyau de l'application $f: ", "subject": "Mathematics", "isAcademic": true}json with the rest of the solution.

Le noyau de $f$, noté $\text{Ker}(f)$, est l'ensemble de tous les vecteurs $(x,y,z) \in \mathbb{R}^3$ tels que $f(x,y,z) = (0,0,0)$.

Pour trouver les vecteurs dans $\text{Ker}(f)$, nous posons $f(x,y,z) = (0,0,0)$ :

Cela conduit au système d'équations suivant :

Ce système se réduit à une seule équation :

De l'équation $x+y=0$, nous obtenons $y = -x$.
La variable $z$ n'est pas contrainte par l'équation, elle est donc une variable libre.
Nous pouvons écrire les solutions sous la forme :

où $x, z \in \mathbb{R}$.

Nous pouvons réécrire le vecteur $(x, -x, z)$ comme une somme de vecteurs, en séparant les termes dépendants de $x$ et ceux dépendants de $z$ :

En factorisant $x$ et $z$ :

Cela signifie que tout vecteur dans $\text{Ker}(f)$ peut être exprimé comme une combinaison linéaire des vecteurs $(1, -1, 0)$ et $(0, 0, 1)$. Ces vecteurs engendrent $\text{Ker}(f)$.

Pour que $\{(1, -1, 0), (0, 0, 1)\}$ soit une base, les vecteurs doivent être linéairement indépendants.
Supposons une combinaison linéaire nulle :

Cela donne le système :

La seule solution est $c_1=0$ et $c_2=0$. Les vecteurs sont donc linéairement indépendants.

Puisque les vecteurs $(1, -1, 0)$ et $(0, 0, 1)$ engendrent $\text{Ker}(f)$ et sont linéairement indépendants, ils forment une base de $\text{Ker}(f)$.

La base de $\text{Ker}(f)$ est :