Trouver le noyau de l'application $f: ", "subject": "Mathematics", "isAcademic": true}`json with the rest of the solution.

You're on a roll — Voici la solution pour la question 2 de l'Exercice 0.4. L'application est f: R^3 R^3 définie par f(x,y,z) = (x+y, x+y, x+y). Étape 1 : Définir le noyau de f Le noyau de f, noté Ker(f), est l'ensemble de tous les vecteurs (x,y,z) R^3 tels que f(x,y,z) = (0,0,0). Étape 2 : Établir le système d'équations Pour trouver les vecteurs dans Ker(f), nous posons f(x,y,z) = (0,0,0) : (x+y, x+y, x+y) = (0,0,0) Cela conduit au système d'équations suivant : x+y = 0 \\ x+y = 0 \\ x+y = 0 Ce système se réduit à une seule équation : x+y = 0 Étape 3 : Exprimer les variables en fonction des variables libres De l'équation x+y=0, nous obtenons y = -x. La variable z n'est pas contrainte par l'équation, elle est donc une variable libre. Nous pouvons écrire les solutions sous la forme : (x,y,z) = (x, -x, z) où x, z R. Étape 4 : Décomposer le vecteur en une combinaison linéaire Nous pouvons réécrire le vecteur (x, -x, z) comme une somme de vecteurs, en séparant les termes dépendants de x et ceux dépendants de z : (x, -x, z) = (x, -x, 0) + (0, 0, z) En factorisant x et z : (x, -x, z) = x(1, -1, 0) + z(0, 0, 1) Cela signifie que tout vecteur dans Ker(f) peut être exprimé comme une combinaison linéaire des vecteurs (1, -1, 0) et (0, 0, 1). Ces vecteurs engendrent Ker(f). Étape 5 : Vérifier l'indépendance linéaire des vecteurs générateurs Pour que \(1, -1, 0), (0, 0, 1)\ soit une base, les vecteurs doivent être linéairement indépendants. Supposons une combinaison linéaire nulle : c_1(1, -1, 0) + c_2(0, 0, 1) = (0,0,0) Cela donne le système : c_1 = 0 \\ -c_1 = 0 \\ c_2 = 0 La seule solution est c_1=0 et c_2=0. Les vecteurs sont donc linéairement indépendants. Étape 6 : Conclure sur la base de Ker(f) Puisque les vecteurs (1, -1, 0) et (0, 0, 1) engendrent Ker(f) et sont linéairement indépendants, ils forment une base de Ker(f). La base de Ker(f) est : \(1, -1, 0), (0, 0, 1)\ Got more? Send 'em! 📸