Two circles of equal radius have their centres at O (0,0) and A (5,0) respectively as shown below. Given that angle PAQ = 120°, Calculate the area of the shaded region.

Jumla ya pembe za ndani za poligoni yenye $n$ pande ni $(n-2) \times 180^\circ$.

Poligoni ina pembe moja ya $84^\circ$ na pembe zingine $(n-1)$ kila moja ikiwa $147^\circ$.
Hivyo, jumla ya pembe ni $84^\circ + (n-1)147^\circ$.

Kusanya $n$ upande mmoja na nambari upande mwingine:

Poligoni ina pande 9.
Jibu la mwisho ni $\boxed{\text{9 pande}}$.

3. Two circles of equal radius have their centres at O (0,0) and A (5,0) respectively as shown below. Given that angle PAQ = 120°. Calculate the area of the shaded region.
Eneo lililotiwa kivuli ni eneo la makutano ya duru hizo mbili.

Vituo vya duara ni $O(0,0)$ na $A(5,0)$. Umbali kati ya vituo ni $OA = 5$.
Duru zina radius sawa, tuseme $r$.
P na Q ni sehemu za makutano ya duru hizo mbili.
Pembe $\angle PAQ = 120^\circ$.

Katika duara iliyo na kituo A, $AP = AQ = r$.
Kwa kuwa $\angle PAQ = 120^\circ$, na $\triangle APQ$ ni pembetatu pacha, tunaweza kugawanya $\angle PAQ$ kwa nusu. Acha M iwe katikati ya PQ. Basi $AM \perp PQ$.
Katika pembetatu ya kulia $\triangle AMP$, $\angle PAM = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.
Tunajua $AM = AP \cos(\angle PAM) = r \cos(60^\circ) = r \times \frac{1}{2} = \frac{r}{2}$.
Kwa ulinganifu, katika duara iliyo na kituo O, $\angle POQ$ pia ni $120^\circ$.
Hivyo, $OM = OP \cos(\angle POM) = r \cos(60^\circ) = r \times \frac{1}{2} = \frac{r}{2}$.
Umbali kati ya vituo $OA = OM + AM$.

Hivyo, radius ya kila duara ni $r=5$.

Eneo la sehemu ya duara = Eneo la sekta - Eneo la pembetatu.
Kwa duara iliyo na kituo A, sekta APQ ina pembe ya kati $\theta = 120^\circ$.
Eneo la sekta APQ = $\frac{\theta}{360^\circ} \pi r^2 = \frac{120}{360} \pi (5^2) = \frac{1}{3} \pi (25) = \frac{25\pi}{3}$.
Eneo la pembetatu APQ = $\frac{1}{2} r^2 \sin(\theta) = \frac{1}{2} (5^2) \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} (25) \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{25\sqrt{3}}{4}$.
Eneo la sehemu ya duara kutoka duara A = $\frac{25\pi}{3} - \frac{25\sqrt{3}}{4}$.

Eneo lililotiwa kivuli ni jumla ya sehemu mbili za duara, moja kutoka kila duara. Kwa kuwa duru ni sawa na pembe za kati ni sawa, sehemu hizi mbili za duara ni sawa.
Eneo lililotiwa kivuli = $2 \times \left( \frac{25\pi}{3} - \frac{25\sqrt{3}}{4} \right)$

Jibu la mwisho ni $\boxed{\frac{50\pi}{3} - \frac{25\sqrt{3}}{2}}$.