Two probability problems: 1. Calculate the probability of an event given the number of favorable and total outcomes. 2. Find the number of outcomes in the union of two events.

Вероятность события $A$ вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу равновозможных исходов.

Дано: $N=56$ (общее число исходов), $N(A)=42$ (число благоприятных исходов).

Разделим числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 14.

Ответ: $\boxed{0,75}$

Задание 7:

Дано: Общее число исходов $N=28$.
Число исходов, благоприятствующих событию $A$: $N(A)=21$.
Число исходов, благоприятствующих событию $B$: $N(B)=13$.
Число исходов, не благоприятствующих ни одному из событий $A$ и $B$, равно 0. Это означает, что $N(\overline{A} \cap \overline{B}) = 0$.

Так как $N(\overline{A \cup B}) = 0$, то все исходы благоприятствуют либо $A$, либо $B$, либо обоим.
Следовательно, $N(A \cup B) = N = 28$.

Ответ: $\boxed{6}$

Задание 8:

Из графика видно, что вершина параболы находится в точке $(2, 1)$.
Общий вид параболы с вершиной $(h, k)$ и коэффициентом $a$ равен $f(x) = a(x-h)^2 + k$.
В данном случае $a=-1$ (из $-x^2$), $h=2$, $k=1$.
Значит, $f(x) = -(x-2)^2 + 1$.

Приравняем полученное уравнение функции к $-79$:

Умножим на $-1$, чтобы сделать старший коэффициент положительным:

Используем формулу для корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
Здесь $a=1$, $b=-4$, $c=-76$.

$\sqrt{320} = \sqrt{64 \times 5} = \sqrt{64} \times \sqrt{5} = 8\sqrt{5}$.

Таким образом, есть два значения $x$:

Ответ: $\boxed{2 - 4\sqrt{5}, 2 + 4\sqrt{5}}$

Задание 9:

Бросок монеты является независимым событием. Результат предыдущих бросков не влияет на результат текущего броска.

Для честной монеты вероятность выпадения решки при любом броске равна $\frac{1}{2}$.
Информация о 50 бросках и 17 орлах не имеет значения для вероятности конкретного, четвертого по счету броска.
Ответ: $\boxed{0,5}$

Задание 10:

Формула: $\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1$.

Ответ: $\boxed{0,62}$