Using appropriate right-angled triangles, show how the above values in the table were obtained.

Tunatumia pembetatu mraba yenye pande mbili sawa (isosceles right-angled triangle).
Fikiria pembetatu mraba yenye pande fupi zenye urefu 1 kila moja. Pembe zake zitakuwa $45^\circ$, $45^\circ$, na $90^\circ$.
Kwa kutumia Theorem ya Pythagoras, urefu wa hypotenuse ($h$) ni:

$$h = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$$

Sasa tunaweza kuhesabu thamani za trigonometria kwa $45^\circ$:

$$\sin 45^\circ = \frac{\text{upande wa pili}}{\text{hypotenuse}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$ $$\cos 45^\circ = \frac{\text{upande wa karibu}}{\text{hypotenuse}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$ $$\tan 45^\circ = \frac{\text{upande wa pili}}{\text{upande wa karibu}} = \frac{1}{1} = 1$$

Tunatumia pembetatu pacha (equilateral triangle) yenye urefu wa pande 2. Pembe zote ni $60^\circ$.
Chora mstari wa wima kutoka kwenye kipeo kimoja hadi katikati ya upande wa pili. Mstari huu hugawanya pembetatu pacha katika pembetatu mbili za mraba zenye pembe za $30^\circ$, $60^\circ$, na $90^\circ$.
Katika kila pembetatu mraba:

• Hypotenuse ni 2.
• Upande wa karibu na $60^\circ$ (au upande wa pili wa $30^\circ$) ni 1 (nusu ya upande wa pembetatu pacha).
• Kwa kutumia Theorem ya Pythagoras, urefu wa upande wa pili wa $60^\circ$ (au upande wa karibu na $30^\circ$) ni $h$:

$$h^2 + 1^2 = 2^2$$ $$h^2 + 1 = 4$$ $$h^2 = 3$$ $$h = \sqrt{3}$$

Kwa pembe ya $30^\circ$:

• Upande wa pili ni 1.
• Upande wa karibu ni $\sqrt{3}$.
• Hypotenuse ni 2.

$$\sin 30^\circ = \frac{\text{upande wa pili}}{\text{hypotenuse}} = \frac{1}{2}$$ $$\cos 30^\circ = \frac{\text{upande wa karibu}}{\text{hypotenuse}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\tan 30^\circ = \frac{\text{upande wa pili}}{\text{upande wa karibu}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

Kwa pembe ya $60^\circ$:

• Upande wa pili ni $\sqrt{3}$.
• Upande wa karibu ni 1.
• Hypotenuse ni 2.

$$\sin 60^\circ = \frac{\text{upande wa pili}}{\text{hypotenuse}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\cos 60^\circ = \frac{\text{upande wa karibu}}{\text{hypotenuse}} = \frac{1}{2}$$ $$\tan 60^\circ = \frac{\text{upande wa pili}}{\text{upande wa karibu}} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$$

Hivyo, thamani zote kwenye jedwali zimepatikana kwa kutumia pembetatu mraba.