Using appropriate right-angled triangles, show how the above values in the table were obtained.

Hapa chini tunaonyesha jinsi thamani za trigonometria zilivyopatikana kwa kutumia pembetatu mraba. Hatua ya 1: Kupata thamani za 45^ Tunatumia pembetatu mraba yenye pande mbili sawa (isosceles right-angled triangle). Fikiria pembetatu mraba yenye pande fupi zenye urefu 1 kila moja. Pembe zake zitakuwa 45^, 45^, na 90^. Kwa kutumia Theorem ya Pythagoras, urefu wa hypotenuse (h) ni: h = sqrt(1^2 + 1^2) = sqrt(1 + 1) = sqrt(2) Sasa tunaweza kuhesabu thamani za trigonometria kwa 45^: 45^ = upande wa pilihypotenuse = (1)/(sqrt(2)) 45^ = upande wa karibuhypotenuse = (1)/(sqrt(2)) 45^ = upande wa piliupande wa karibu = (1)/(1) = 1 Hatua ya 2: Kupata thamani za 30^ na 60^ Tunatumia pembetatu pacha (equilateral triangle) yenye urefu wa pande 2. Pembe zote ni 60^. Chora mstari wa wima kutoka kwenye kipeo kimoja hadi katikati ya upande wa pili. Mstari huu hugawanya pembetatu pacha katika pembetatu mbili za mraba zenye pembe za 30^, 60^, na 90^. Katika kila pembetatu mraba: • Hypotenuse ni 2. • Upande wa karibu na 60^ (au upande wa pili wa 30^) ni 1 (nusu ya upande wa pembetatu pacha). • Kwa kutumia Theorem ya Pythagoras, urefu wa upande wa pili wa 60^ (au upande wa karibu na 30^) ni h: h^2 + 1^2 = 2^2 h^2 + 1 = 4 h^2 = 3 h = sqrt(3) Hatua ya 3: Kuhesabu thamani za 30^ na 60^ Kwa pembe ya 30^: • Upande wa pili ni 1. • Upande wa karibu ni sqrt(3). • Hypotenuse ni 2. 30^ = upande wa pilihypotenuse = (1)/(2) 30^ = upande wa karibuhypotenuse = sqrt(3)2 30^ = upande wa piliupande wa karibu = (1)/(sqrt(3)) Kwa pembe ya 60^: • Upande wa pili ni sqrt(3). • Upande wa karibu ni 1. • Hypotenuse ni 2. 60^ = upande wa pilihypotenuse = sqrt(3)2 60^ = upande wa karibuhypotenuse = (1)/(2) 60^ = upande wa piliupande wa karibu = sqrt(3)1 = sqrt(3) Hivyo, thamani zote kwenye jedwali zimepatikana kwa kutumia pembetatu mraba. Tuma swali linalofuata 📸