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Soit u et v deux vecteurs non nuls. Démontrer que: ||u|| = ||v|| <=> (u-v) (u+v). 2. Déduire de la question précédente qu'un parallélogramme est un losange si et seulement si ses diagonales sont perpendiculaires.

Mathematics

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Step-by-step solution

7 steps

Voici la solution détaillée pour chaque partie du problème.

1. Démontrer que : ∣∣u⃗∣∣=∣∣v⃗∣∣  ⟺  (u⃗−v⃗)⊥(u⃗+v⃗)||\vec{u}|| = ||\vec{v}|| \iff (\vec{u} - \vec{v}) \perp (\vec{u} + \vec{v}).

Pour démontrer cette équivalence, nous allons prouver les deux implications.
Rappel: Deux vecteurs sont perpendiculaires si et seulement si leur produit scalaire est nul. Donc, (u⃗−v⃗)⊥(u⃗+v⃗)(\vec{u} - \vec{v}) \perp (\vec{u} + \vec{v}) est équivalent à (u⃗−v⃗)⋅(u⃗+v⃗)=0(\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = 0.

  1. Calculer le produit scalaire (u⃗−v⃗)⋅(u⃗+v⃗)(\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v}).

    (u⃗−v⃗)⋅(u⃗+v⃗)=u⃗⋅u⃗+u⃗⋅v⃗−v⃗⋅u⃗−v⃗⋅v⃗(\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = \vec{u} \cdot \vec{u} + \vec{u} \cdot \vec{v} - \vec{v} \cdot \vec{u} - \vec{v} \cdot \vec{v}

    Puisque le produit scalaire est commutatif (u⃗⋅v⃗=v⃗⋅u⃗\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}), les termes du milieu s'annulent.

    (u⃗−v⃗)⋅(u⃗+v⃗)=u⃗⋅u⃗−v⃗⋅v⃗(\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = \vec{u} \cdot \vec{u} - \vec{v} \cdot \vec{v}

    Nous savons que x⃗⋅x⃗=∣∣x⃗∣∣2\vec{x} \cdot \vec{x} = ||\vec{x}||^2.

    (u⃗−v⃗)⋅(u⃗+v⃗)=∣∣u⃗∣∣2−∣∣v⃗∣∣2(\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = ||\vec{u}||^2 - ||\vec{v}||^2

  2. Démontrer l'implication directe (  ⟹  \implies).

    Supposons que ∣∣u⃗∣∣=∣∣v⃗∣∣||\vec{u}|| = ||\vec{v}||.
    En élevant au carré les deux membres (les normes sont positives), on obtient:

    ∣∣u⃗∣∣2=∣∣v⃗∣∣2||\vec{u}||^2 = ||\vec{v}||^2 ∣∣u⃗∣∣2−∣∣v⃗∣∣2=0||\vec{u}||^2 - ||\vec{v}||^2 = 0

    D'après le Step 1, cela signifie que:

    (u⃗−v⃗)⋅(u⃗+v⃗)=0(\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = 0

    Donc, (u⃗−v⃗)⊥(u⃗+v⃗)(\vec{u} - \vec{v}) \perp (\vec{u} + \vec{v}).

  3. Démontrer l'implication réciproque (  ⟸  \impliedby).

    Supposons que (u⃗−v⃗)⊥(u⃗+v⃗)(\vec{u} - \vec{v}) \perp (\vec{u} + \vec{v}).
    Cela signifie que leur produit scalaire est nul:

    (u⃗−v⃗)⋅(u⃗+v⃗)=0(\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = 0

    D'après le Step 1, cela implique que:

    ∣∣u⃗∣∣2−∣∣v⃗∣∣2=0||\vec{u}||^2 - ||\vec{v}||^2 = 0 ∣∣u⃗∣∣2=∣∣v⃗∣∣2||\vec{u}||^2 = ||\vec{v}||^2

    Puisque les normes sont des valeurs non négatives, prendre la racine carrée des deux membres donne:

    ∣∣u⃗∣∣=∣∣v⃗∣∣||\vec{u}|| = ||\vec{v}||

    Les deux implications étant prouvées, l'équivalence est démontrée.

    ∣∣u⃗∣∣=∣∣v⃗∣∣  ⟺  (u⃗−v⃗)⊥(u⃗+v⃗)\boxed{||\vec{u}|| = ||\vec{v}|| \iff (\vec{u} - \vec{v}) \perp (\vec{u} + \vec{v})}

    2. Déduire de la question précédente qu'un parallélogramme est un losange si et seulement si ses diagonales sont perpendiculaires.

  4. Définir les vecteurs des côtés et des diagonales d'un parallélogramme.

    Considérons un parallélogramme ABCDABCD.
    Soient u⃗=AB⃗\vec{u} = \vec{AB} et v⃗=AD⃗\vec{v} = \vec{AD}.
    Les côtés adjacents du parallélogramme sont ABAB et ADAD.
    Les diagonales du parallélogramme sont AC⃗\vec{AC} et DB⃗\vec{DB}.
    En utilisant l'addition vectorielle:

    AC⃗=AB⃗+BC⃗=AB⃗+AD⃗=u⃗+v⃗\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{u} + \vec{v} DB⃗=AB⃗−AD⃗=u⃗−v⃗\vec{DB} = \vec{AB} - \vec{AD} = \vec{u} - \vec{v}

  5. Relier la condition "un parallélogramme est un losange" aux vecteurs.

    Un parallélogramme est un losange si et seulement si tous ses côtés ont la même longueur.
    Puisque les côtés opposés d'un parallélogramme sont déjà égaux en longueur, il suffit que deux côtés adjacents soient égaux.
    Donc, un parallélogramme ABCDABCD est un losange si et seulement si ∣∣AB⃗∣∣=∣∣AD⃗∣∣|| \vec{AB} || = || \vec{AD} ||.
    En termes de nos vecteurs, cela signifie ∣∣u⃗∣∣=∣∣v⃗∣∣||\vec{u}|| = ||\vec{v}||.

  6. Relier la condition "ses diagonales sont perpendiculaires" aux vecteurs.

    Les diagonales du parallélogramme sont AC⃗\vec{AC} et DB⃗\vec{DB}.
    Elles sont perpendiculaires si et seulement si AC⃗⊥DB⃗\vec{AC} \perp \vec{DB}.
    En termes de nos vecteurs, cela signifie (u⃗+v⃗)⊥(u⃗−v⃗)(\vec{u} + \vec{v}) \perp (\vec{u} - \vec{v}).

  7. Utiliser le résultat de la question 1.

    La question 1 a démontré que:

    ∣∣u⃗∣∣=∣∣v⃗∣∣  ⟺  (u⃗−v⃗)⊥(u⃗+v⃗)||\vec{u}|| = ||\vec{v}|| \iff (\vec{u} - \vec{v}) \perp (\vec{u} + \vec{v})

    En substituant les interprétations vectorielles des propriétés du parallélogramme:

    • La condition ∣∣u⃗∣∣=∣∣v⃗∣∣||\vec{u}|| = ||\vec{v}|| est équivalente à "le parallélogramme est un losange".
    • La condition (u⃗−v⃗)⊥(u⃗+v⃗)(\vec{u} - \vec{v}) \perp (\vec{u} + \vec{v}) est équivalente à "les diagonales du parallélogramme sont perpendiculaires".

    Par conséquent, nous pouvons déduire que:
    Un parallélogramme est un losange si et seulement si ses diagonales sont perpendiculaires.

    Un paralleˊlogramme est un losange si et seulement si ses diagonales sont perpendiculaires.\boxed{\text{Un parallélogramme est un losange si et seulement si ses diagonales sont perpendiculaires.}}
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