Voici les solutions détaillées pour les exercices.

On a $p(A) = 0,4$, $p(B) = 0,5$ et $p(A \cap B) = 0,3$.
La formule de la probabilité de l'union est $p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)$.

L'affirmation indique $p(A \cup B) = 0,9$.
Réponse : 1- F

La fonction $f$ est définie par $f(x) = 3 \ln x$.
La fonction $\ln x$ est définie pour $x > 0$.
Donc, l'ensemble de définition de $f$ est $D_f = ]0; +\infty[$.
L'affirmation indique $D_f = [0; +\infty[$.
Réponse : 2- F

On cherche $\lim_{x \to +\infty} (-2x)$.
Lorsque $x \to +\infty$, $-2x$ tend vers $-\infty$.
L'affirmation indique $\lim_{x \to +\infty} (-2x) = -\infty$.
Réponse : 3- V

Deux évènements A et B sont incompatibles si et seulement si leur intersection est l'ensemble vide, c'est-à-dire $A \cap B = \emptyset$.
L'affirmation est la définition même d'évènements incompatibles.
Réponse : 4- V

La propriété des logarithmes est $\ln \left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$ pour $a, b > 0$.
L'affirmation indique $\ln \left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) + \ln(b)$.
Réponse : 5- F

On a $\lim_{x \to +\infty} [f(x) - (2x + 3)] = 0$.
Par définition, si $\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (ax + b)] = 0$, alors la droite d'équation $y = ax + b$ est une asymptote oblique à la courbe représentative de $f$. Ici, $a=2$ et $b=3$.
Réponse : 1- C

On cherche $\lim_{x \to 5} \frac{-2x + 5}{x - 5}$.

• Lorsque $x \to 5$, le numérateur tend vers $-2(5) + 5 = -10 + 5 = -5$.
• Lorsque $x \to 5$, le dénominateur tend vers $5 - 5 = 0$. Nous devons étudier le signe du dénominateur.
• Si $x \to 5^-$ (par valeurs inférieures à 5), alors $x - 5 \to 0^-$. $$\lim_{x \to 5^-} \frac{-2x + 5}{x - 5} = \frac{-5}{0^-} = +\infty$$
• Si $x \to 5^+$ (par valeurs supérieures à 5), alors $x - 5 \to 0^+$. $$\lim_{x \to 5^+} \frac{-2x + 5}{x - 5} = \frac{-5}{0^+} = -\infty$$

Puisque les limites à gauche et à droite sont différentes, la limite $\lim_{x \to 5} \frac{-2x + 5}{x - 5}$ n'existe pas. Étant donné que les options sont 0, $+\infty$, $-\infty$ et qu'une seule réponse est correcte, la question est ambiguë. Cependant, la réponse mathématiquement exacte est que la limite n'existe pas. Si l'on devait choisir une option, cela impliquerait une convention non spécifiée ou une erreur dans la question. Dans un contexte où une asymptote verticale existe, on parle de limite infinie. Mais ici, les deux infinis sont atteints. Réponse : La limite n'existe pas.

La fonction $f$ est définie par $f(x) = \ln(x^2 + x + 5)$.
C'est une fonction de la forme $\ln(u(x))$, dont la dérivée est $f'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}$.
Ici, $u(x) = x^2 + x + 5$.
La dérivée de $u(x)$ est $u'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + x + 5) = 2x + 1$.
Donc, la dérivée de $f(x)$ est $f'(x) = \frac{2x + 1}{x^2 + x + 5}$.
Réponse : 3- A

L'équation est $e^{2x+1} = e^3$.
Puisque les bases sont égales, les exposants doivent être égaux :

L'ensemble de solution est $\{1\}$.
Réponse : 4- C

Le nombre de façons de choisir 3 jus parmi 12 sans ordre est :

Le nombre de résultats possibles est bien de 220.

• a) Calculer la probabilité de l'évènement A : "Les trois jus choisis sont de même nature." L'évènement A signifie que les 3 jus sont de gingembre OU les 3 jus sont de tamarin OU les 3 jus sont de bissap.

  • Nombre de façons de choisir 3 jus de gingembre parmi 6 : $C_6^3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$.
  • Nombre de façons de choisir 3 jus de tamarin parmi 2 : $C_2^3 = 0$ (impossible).
  • Nombre de façons de choisir 3 jus de bissap parmi 4 : $C_4^3 = \frac{4 \times 3 \times 2}{3 \times 2 \times 1} = 4$. Le nombre de résultats favorables à A est $N(A) = 20 + 0 + 4 = 24$. La probabilité de A est :
  $$p(A) = \frac{N(A)}{N(\Omega)} = \frac{24}{220} = \frac{6}{55}$$

  La probabilité de l'évènement A est $\boxed{\frac{6}{55}}$.

• b) Justifier que la probabilité de l'évènement B est $\frac{7}{55}$. L'évènement B : "Le choix ne comporte aucun jus de gingembre." Cela signifie que les 3 jus choisis proviennent des jus qui ne sont pas de gingembre. Il y a 2 jus de tamarin et 4 jus de bissap, soit un total de $2+4=6$ jus non-gingembre. Le nombre de façons de choisir 3 jus parmi ces 6 jus non-gingembre est :

  $$N(B) = C_6^3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$$

  La probabilité de B est :

  $$p(B) = \frac{N(B)}{N(\Omega)} = \frac{20}{220} = \frac{2}{22} = \frac{1}{11}$$

  Nous avons calculé $p(B) = \frac{1}{11}$. Or, l'affirmation demande de justifier que $p(B) = \frac{7}{55}$. Puisque $\frac{1}{11} = \frac{5}{55}$, la valeur donnée $\frac{7}{55}$ est incorrecte. La probabilité de l'évènement B est $\boxed{\frac{1}{11}}$, ce qui n'est pas $\frac{7}{55}$.

• c) Calculer la probabilité de l'évènement C : "Le choix comporte au moins un jus de gingembre." L'évènement C est le complémentaire de l'évènement B (aucun jus de gingembre). Donc, $p(C) = 1 - p(B)$. En utilisant notre calcul de $p(B) = \frac{1}{11}$ :

  $$p(C) = 1 - \frac{1}{11} = \frac{11 - 1}{11} = \frac{10}{11}$$

  La probabilité de l'évènement C est $\boxed{\frac{10}{11}}$.

L'évènement D signifie que le choix contient 0 jus de gingembre OU 1 jus de gingembre.

• Cas 1 : 0 jus de gingembre. C'est l'évènement B, dont le nombre de résultats favorables est $N(B) = 20$.
• Cas 2 : 1 jus de gingembre et 2 jus non-gingembre. Nombre de façons de choisir 1 jus de gingembre parmi 6 : $C_6^1 = 6$. Nombre de façons de choisir 2 jus non-gingembre parmi 6 : $C_6^2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$. Le nombre de résultats pour ce cas est $C_6^1 \times C_6^2 = 6 \times 15 = 90$. Le nombre total de résultats favorables à D est $N(D) = 20 + 90 = 110$. La probabilité de D est :

La probabilité de l'évènement D est $\boxed{\frac{1}{2}}$.

Calculons la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers 0 par valeurs positives :

Nous savons que :

• $\lim_{x \to 0^+} (-x) = 0$
• $\lim_{x \to 0^+} (\ln x) = -\infty$ Donc, par somme des limites :

Interprétation : La droite d'équation $x=0$ (l'axe des ordonnées) est une asymptote verticale à la courbe représentative $(C_f)$ de la fonction $f$.

Calculons la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ :

Nous utilisons les limites de référence :

• $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$ (par croissances comparées) Donc :
• $\lim_{x \to +\infty} \left(-1 + \frac{\ln x}{x}\right) = -1 + 0 = -1$
• $\lim_{x \to +\infty} x = +\infty$ Par produit des limites :

Donc, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \boxed{-\infty}$.

La fonction $f(x) = -x + \ln x$ est dérivable sur $]0; +\infty[$.
Calculons sa dérivée :

Pour mettre sur un dénominateur commun :

L'expression de la dérivée est bien $f'(x) = \boxed{\frac{1-x}{x}}$.

Le signe de $f'(x)$ détermine les variations de $f$.
Pour $x \in ]0; +\infty[$, le dénominateur $x$ est toujours positif.
Le signe de $f'(x)$ est donc le même que le signe du numérateur $1-x$.

• Si $1-x > 0 \implies 1 > x \implies x \in ]0; 1[$. Dans cet intervalle, $f'(x) > 0$, donc $f$ est strictement croissante.
• Si $1-x < 0 \implies 1 < x \implies x \in ]1; +\infty[$. Dans cet intervalle, $f'(x) < 0$, donc $f$ est strictement décroissante.
• Si $1-x = 0 \implies x = 1$. Dans ce cas, $f'(1) = 0$, ce qui indique un extremum local.