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ಕೆಳಗಿನ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಜೋಡಿಗಳನ್ನಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಧಿಸಿ, x + y = 14 x − y = 4 (ii) s − t = 3 s/3 + t/2 = 6 (iii) 3x − y = 3 9x − 3y = 9 (iv) 0.2x + 0.3y = 1.3 4x + 0.5y = 2.3 √2x + √3y = 0 √3x − √2y = 0 (vi) 3x/2 - 5y/3 = -2 x/3 + y/2 = 13/6

Mathematics

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Step-by-step solution

20 steps

यहाँ दिए गए रैखिक समीकरणों के युग्मों को हल करने के चरण दिए गए हैं:

Part a· 2 steps

(i)

दिए गए समीकरण हैं:

x+y=14(1)x + y = 14 \quad (1) x−y=4(2)x - y = 4 \quad (2)

  1. समीकरण (1) और (2) को जोड़ें।

    (x+y)+(x−y)=14+4(x + y) + (x - y) = 14 + 4 2x=182x = 18 x=182x = \frac{18}{2} x=9x = 9

  2. x=9x = 9 को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करें।

    9+y=149 + y = 14 y=14−9y = 14 - 9 y=5y = 5

    अतः, हल है: x=9,y=5\boxed{x=9, y=5}

Part b· 3 steps

(ii)

दिए गए समीकरण हैं:

s−t=3(1)s - t = 3 \quad (1) s3+t2=6(2)\frac{s}{3} + \frac{t}{2} = 6 \quad (2)

  1. समीकरण (1) से ss को tt के पदों में व्यक्त करें।

    s=t+3s = t + 3

  2. s=t+3s = t + 3 को समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करें।

    t+33+t2=6\frac{t+3}{3} + \frac{t}{2} = 6

    समीकरण को 6 से गुणा करें (3 और 2 का लघुत्तम समापवर्त्य)।

    2(t+3)+3t=362(t+3) + 3t = 36 2t+6+3t=362t + 6 + 3t = 36 5t+6=365t + 6 = 36 5t=36−65t = 36 - 6 5t=305t = 30 t=305t = \frac{30}{5} t=6t = 6

  3. t=6t = 6 को s=t+3s = t + 3 में प्रतिस्थापित करें।

    s=6+3s = 6 + 3 s=9s = 9

    अतः, हल है: s=9,t=6\boxed{s=9, t=6}

Part c· 2 steps

(iii)

दिए गए समीकरण हैं:

3x−y=3(1)3x - y = 3 \quad (1) 9x−3y=9(2)9x - 3y = 9 \quad (2)

  1. समीकरण (1) को 3 से गुणा करें।

    3(3x−y)=3(3)3(3x - y) = 3(3) 9x−3y=9(3)9x - 3y = 9 \quad (3)

  2. समीकरण (2) और (3) की तुलना करें।

    समीकरण (2) और (3) समान हैं। इसका मतलब है कि रेखाएँ संपाती हैं, और इस प्रणाली के अनंत रूप से अनेक हल हैं।
    अतः, हल है: अनंत रूप से अनेक हल\boxed{\text{अनंत रूप से अनेक हल}}

Part d· 4 steps

(iv)

दिए गए समीकरण हैं:

0.2x+0.3y=1.3(1)0.2x + 0.3y = 1.3 \quad (1) 0.4x+0.5y=2.3(2)0.4x + 0.5y = 2.3 \quad (2)

  1. दशमलव हटाने के लिए दोनों समीकरणों को 10 से गुणा करें।

    2x+3y=13(3)2x + 3y = 13 \quad (3) 4x+5y=23(4)4x + 5y = 23 \quad (4)

  2. समीकरण (3) को 2 से गुणा करें।

    2(2x+3y)=2(13)2(2x + 3y) = 2(13) 4x+6y=26(5)4x + 6y = 26 \quad (5)

  3. समीकरण (4) को समीकरण (5) से घटाएँ।

    (4x+6y)−(4x+5y)=26−23(4x + 6y) - (4x + 5y) = 26 - 23 y=3y = 3

  4. y=3y = 3 को समीकरण (3) में प्रतिस्थापित करें।

    2x+3(3)=132x + 3(3) = 13 2x+9=132x + 9 = 13 2x=13−92x = 13 - 9 2x=42x = 4 x=42x = \frac{4}{2} x=2x = 2

    अतः, हल है: x=2,y=3\boxed{x=2, y=3}

Part e· 4 steps

(v)

दिए गए समीकरण हैं:

2x+3y=0(1)\sqrt{2}x + \sqrt{3}y = 0 \quad (1) 3x−8y=0(2)\sqrt{3}x - \sqrt{8}y = 0 \quad (2)

  1. समीकरण (1) से xx को yy के पदों में व्यक्त करें।

    2x=−3y\sqrt{2}x = -\sqrt{3}y x=−32yx = -\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}y

  2. xx के इस मान को समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करें।

    3(−32y)−8y=0\sqrt{3}\left(-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}y\right) - \sqrt{8}y = 0 −32y−22y=0(क्योंकि 8=4×2=22)-\frac{3}{\sqrt{2}}y - 2\sqrt{2}y = 0 \quad (\text{क्योंकि } \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2})

  3. समीकरण को 2\sqrt{2} से गुणा करें।

    −3y−22(2)y=0-3y - 2\sqrt{2}(\sqrt{2})y = 0 −3y−4y=0-3y - 4y = 0 −7y=0-7y = 0 y=0y = 0

  4. y=0y = 0 को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करें।

    2x+3(0)=0\sqrt{2}x + \sqrt{3}(0) = 0 2x=0\sqrt{2}x = 0 x=0x = 0

    अतः, हल है: x=0,y=0\boxed{x=0, y=0}

Part f· 5 steps

(vi)

दिए गए समीकरण हैं:

3x2−5y3=−2(1)\frac{3x}{2} - \frac{5y}{3} = -2 \quad (1) x3+y2=136(2)\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = \frac{13}{6} \quad (2)

  1. समीकरण (1) को 6 से गुणा करें (2 और 3 का लघुत्तम समापवर्त्य)।

    6(3x2)−6(5y3)=6(−2)6\left(\frac{3x}{2}\right) - 6\left(\frac{5y}{3}\right) = 6(-2) 9x−10y=−12(3)9x - 10y = -12 \quad (3)

  2. समीकरण (2) को 6 से गुणा करें (3 और 2 का लघुत्तम समापवर्त्य)।

    6(x3)+6(y2)=6(136)6\left(\frac{x}{3}\right) + 6\left(\frac{y}{2}\right) = 6\left(\frac{13}{6}\right) 2x+3y=13(4)2x + 3y = 13 \quad (4)

  3. yy को समाप्त करने के लिए समीकरण (3) को 3 से और समीकरण (4) को 10 से गुणा करें।

    3(9x−10y)=3(−12)  ⟹  27x−30y=−36(5)3(9x - 10y) = 3(-12) \implies 27x - 30y = -36 \quad (5) 10(2x+3y)=10(13)  ⟹  20x+30y=130(6)10(2x + 3y) = 10(13) \implies 20x + 30y = 130 \quad (6)

  4. समीकरण (5) और (6) को जोड़ें।

    (27x−30y)+(20x+30y)=−36+130(27x - 30y) + (20x + 30y) = -36 + 130 47x=9447x = 94 x=9447x = \frac{94}{47} x=2x = 2

  5. x=2x = 2 को समीकरण (4) में प्रतिस्थापित करें।

    2(2)+3y=132(2) + 3y = 13 4+3y=134 + 3y = 13 3y=13−43y = 13 - 4 3y=93y = 9 y=93y = \frac{9}{3} y=3y = 3

    अतः, हल है: x=2,y=3\boxed{x=2, y=3}

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