A stone falls from a height of 19.6 m. How long does it take to reach the ground? If a ball is thrown up to a height of 19.6 m and returns to the person's hand, what is the initial velocity and the to

1. حل مسئله 1:
برای سنگی که از ارتفاع $19.6 \text{ m}$ سقوط می‌کند، سرعت اولیه $v_0 = 0 \text{ m/s}$ است. از معادله حرکت استفاده می‌کنیم:

$$\Delta y = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$$

در اینجا، $\Delta y = -19.6 \text{ m}$ (چون به سمت پایین است) و شتاب $a = -g = -9.8 \text{ m/s}^2$.

$$-19.6 \text{ m} = (0 \text{ m/s}) t + \frac{1}{2} (-9.8 \text{ m/s}^2) t^2$$ $$-19.6 = -4.9 t^2$$ $$t^2 = \frac{-19.6}{-4.9}$$ $$t^2 = 4$$ $$t = \sqrt{4}$$ $$t = 2 \text{ s}$$

زمان لازم برای رسیدن سنگ به زمین برابر است با:

$$\boxed{\text{2 s}}$$

2. حل مسئله 2:
اگر یک توپ به ارتفاع $19.6 \text{ m}$ پرتاب شود و به دست شخص برگردد، این ارتفاع، حداکثر ارتفاعی است که توپ به آن می‌رسد. زمان بالا رفتن توپ تا حداکثر ارتفاع با زمان پایین آمدن آن برابر است.
ابتدا سرعت اولیه پرتاب ($v_0$) را پیدا می‌کنیم. در حداکثر ارتفاع، سرعت نهایی ($v_f$) برابر با $0 \text{ m/s}$ است.

$$v_f^2 = v_0^2 + 2a\Delta y$$ $$(0 \text{ m/s})^2 = v_0^2 + 2(-9.8 \text{ m/s}^2)(19.6 \text{ m})$$ $$0 = v_0^2 - 38.416$$ $$v_0^2 = 384.16$$ $$v_0 = \sqrt{384.16} = 19.6 \text{ m/s}$$

حالا زمان لازم برای رسیدن به حداکثر ارتفاع ($t_{up}$) را پیدا می‌کنیم:

$$v_f = v_0 + at_{up}$$ $$0 \text{ m/s} = 19.6 \text{ m/s} + (-9.8 \text{ m/s}^2)t_{up}$$ $$9.8 t_{up} = 19.6$$ $$t_{up} = \frac{19.6}{9.8} = 2 \text{ s}$$

زمان کل برای بازگشت توپ به دست شخص (زمان بالا رفتن + زمان پایین آمدن) برابر است با:

$$t_{total} = 2 \times t_{up} = 2 \times 2 \text{ s} = 4 \text{ s}$$

زمان لازم برای بازگشت توپ به دست شخص برابر است با:

$$\boxed{\text{4 s}}$$

3. حل مسئله 3:
یک جسم با سرعت اولیه $v_0 = 98 \text{ m/s}$ به سمت بالا پرتاب می‌شود. شتاب $a = -g = -9.8 \text{ m/s}^2$.

a) ارتفاع اعظمی جسم را معلوم کنید:
در حداکثر ارتفاع، سرعت نهایی ($v_f$) برابر با $0 \text{ m/s}$ است.

$$v_f^2 = v_0^2 + 2a\Delta y_{max}$$ $$(0 \text{ m/s})^2 = (98 \text{ m/s})^2 + 2(-9.8 \text{ m/s}^2)\Delta y_{max}$$ $$0 = 9604 - 19.6 \Delta y_{max}$$ $$19.6 \Delta y_{max} = 9604$$ $$\Delta y_{max} = \frac{9604}{19.6} = 490 \text{ m}$$

حداکثر ارتفاع جسم برابر است با:

$$\boxed{\text{490 m}}$$

b) در چقدر وقت جسم دوباره به زمین می رسد؟
برای بازگشت به زمین، جابجایی کل ($\Delta y$) برابر با $0 \text{ m}$ است.

$$\Delta y = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$$ $$0 = (98 \text{ m/s}) t + \frac{1}{2} (-9.8 \text{ m/s}^2) t^2$$ $$0 = 98t - 4.9t^2$$ $$0 = t(98 - 4.9t)$$

دو راه حل وجود دارد: $t=0$ (لحظه پرتاب) یا $98 - 4.9t = 0$.

$$4.9t = 98$$ $$t = \frac{98}{4.9} = 20 \text{ s}$$

زمان لازم برای بازگشت جسم به زمین برابر است با:

$$\boxed{\text{20 s}}$$

c) جسم بعد از $5 \text{ sec}$ و $15 \text{ sec}$ در کدام ارتفاع می باشد؟
از معادله جابجایی استفاده می‌کنیم: $\Delta y = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$.

برای $t = 5 \text{ s}$:

$$\Delta y_5 = (98 \text{ m/s})(5 \text{ s}) + \frac{1}{2}(-9.8 \text{ m/s}^2)(5 \text{ s})^2$$ $$\Delta y_5 = 490 - 4.9(25)$$ $$\Delta y_5 = 490 - 122.5$$ $$\Delta y_5 = 367.5 \text{ m}$$

برای $t = 15 \text{ s}$:

$$$$