Calculer le potentiel électrostatique créé par un anneau circulaire chargé sur son axe.

On considère un anneau circulaire de rayon $R$ situé dans le plan $(xOy)$, centré à l'origine. L'axe de l'anneau est l'axe $(Oz)$. La densité linéique de charge est $\lambda$.
On veut calculer le potentiel électrostatique $V(M)$ en un point M situé sur l'axe $(Oz)$, de coordonnées $(0, 0, z)$.

Prenons un élément de longueur $dl$ sur l'anneau. La charge $dq$ contenue dans cet élément est $dq = \lambda dl$.
Puisque l'anneau est de rayon $R$, $dl = R d\theta$, où $d\theta$ est l'angle sous-tendu par $dl$.
Donc, $dq = \lambda R d\theta$.

La distance $r'$ entre n'importe quel point de l'anneau et le point M sur l'axe $(Oz)$ est constante et donnée par le théorème de Pythagore :

Le potentiel électrostatique élémentaire $dV$ créé par la charge $dq$ au point M est :

En substituant $dq$ et $r'$ :

Pour obtenir le potentiel total $V(z)$ au point M, on intègre $dV$ sur tout l'anneau, c'est-à-dire de $\theta=0$ à $\theta=2\pi$ :

Puisque $\frac{1}{4\pi\epsilon_0}$, $\lambda$, $R$ et $\sqrt{R^2 + z^2}$ sont des constantes par rapport à l'intégration sur $\theta$, on peut les sortir de l'intégrale :

L'intégrale de $d\theta$ de 0 à $2\pi$ est $2\pi$ :