Déterminer le champ électrique d'un plan infini percé d'un trou en utilisant le principe de superposition.

Le plan infini percé d'un trou peut être considéré comme la superposition de deux distributions de charge :

• Un plan infini uniformément chargé avec une densité surfacique $\alpha$.
• Un disque de rayon $R_1$ uniformément chargé avec une densité surfacique $-\alpha$.

D'après la question 2 (b), le champ électrique créé par un plan infini uniformément chargé de densité $\alpha$ est :

$$\vec{E}_{plan}(z) = \frac{\alpha}{2\epsilon_0} \vec{u_z}$$

D'après la question 1 (a), le champ électrique créé par un disque de rayon $R_1$ et de densité $-\alpha$ sur son axe (Oz) est :

$$\vec{E}_{disque}(z) = \frac{-\alpha}{2\epsilon_0} \left[1 - \frac{z}{\sqrt{R_1^2+z^2}}\right] \vec{u_z}$$

Le champ électrique total $\vec{E}_{total}(z)$ est la somme des deux champs :

$$\vec{E}_{total}(z) = \vec{E}_{plan}(z) + \vec{E}_{disque}(z)$$ $$\vec{E}_{total}(z) = \frac{\alpha}{2\epsilon_0} \vec{u_z} + \frac{-\alpha}{2\epsilon_0} \left[1 - \frac{z}{\sqrt{R_1^2+z^2}}\right] \vec{u_z}$$ $$\vec{E}_{total}(z) = \frac{\alpha}{2\epsilon_0} \left[1 - \left(1 - \frac{z}{\sqrt{R_1^2+z^2}}\right)\right] \vec{u_z}$$ $$\vec{E}_{total}(z) = \frac{\alpha}{2\epsilon_0} \left[1 - 1 + \frac{z}{\sqrt{R_1^2+z^2}}\right] \vec{u_z}$$ $$\vec{E}_{total}(z) = \frac{\alpha}{2\epsilon_0} \frac{z}{\sqrt{R_1^2+z^2}} \vec{u_z}$$

Le champ électrique en un point M sur l'axe (Oz) est :

$$\boxed{\vec{E}(M) = \frac{\alpha z}{2\epsilon_0 \sqrt{R_1^2+z^2}} \vec{u_z}}$$