Déterminer les allongements x1 et x2 de chaque ressort lorsque la barre est au repos. Si on tire la barre d'une distance x0 de la position d'équilibre, puis on lâche, la barre fait un mouvement oscillatoire autour de la position d'équilibre.

Question

Asked on July 14, 2026Physics

This physics problem tests your understanding of fundamental physical laws and their applications. The step-by-step solution below breaks down the problem using relevant equations and physical reasoning.

Accepted Answer · 2026-07-14T11:06:29.986Z

Voici la solution détaillée aux questions posées. Partie A: Mécanique Données : Masse de la barre : M = 40 \, g = 0.040 \, kg Constante de raideur des ressorts R_1 : K_1 = 20 \, N · m^-1 Constante de raideur du ressort R_2 : K_2 = 50 \, N · m^-1 Longueur à vide des trois ressorts : l_0 = 20 \, cm = 0.20 \, m Longueur totale du système : L = 50 \, cm = 0.50 \, m Déplacement initial : x_0 = 0.01 \, m Nous allons interpréter le système comme suit, en accord avec le schéma et le nombre total de ressorts : Un ressort de raideur K_1 à gauche de la barre (en bas). Un ressort de raideur K_1 à droite de la barre (en haut). Un ressort de raideur K_2 à droite de la barre (en bas). 1) Déterminer les allongements x_1 et x_2 de chaque ressort lorsque la barre est au repos. Step 1: Déterminer la position d'équilibre de la barre. Soit x_eq la position de la face gauche de la barre par rapport au mur gauche lorsque la barre est au repos. Le ressort de gauche (raideur K_1) a une longueur x_eq. Son allongement est l_L = x_eq - l_0. La force qu'il exerce sur la barre est F_L = -K_1(x_eq - l_0). Les deux ressorts de droite (raideurs K_1 et K_2) ont une longueur L - x_eq. Leur allongement est l_R = (L - x_eq) - l_0. La force totale qu'ils exercent sur la barre est F_R = -(K_1 + K_2)((L - x_eq) - l_0). À l'équilibre, la somme des forces est nulle : F_L + F_R = 0. -K_1(x_eq - l_0) - (K_1 + K_2)((L - x_eq) - l_0) = 0 -K_1 x_eq + K_1 l_0 - (K_1 + K_2)L + (K_1 + K_2)x_eq + (K_1 + K_2)l_0 = 0 K_2 x_eq = (K_1 + K_2)L - (2K_1 + K_2)l_0 x_eq = ((K_1 + K_2)L - (2K_1 + K_2)l_0)/(K_2) Substituons les valeurs numériques : x_eq = (20 \, N · m^-1 + 50 \, N · m^-1) × 0.50 \, m - (2 × 20 \, N · m^-1 + 50 \, N · m^-1) × 0.20 \, m50 \, N · m^-1 x_eq = (70 × 0.50 - (40 + 50) × 0.20)/(50) x_eq = (35 - 90 × 0.20)/(50) = (35 - 18)/(50) = (17)/(50) = 0.34 \, m Step 2: Calculer les allongements. L'allongement x_1 est pour les ressorts de raideur K_1. Il y a un ressort K_1 à gauche et un à droite. L'allongement x_2 est pour le ressort de raideur K_2. Il y en a un à droite. Allongement du ressort K_1 de gauche : x_1, gauche = x_eq - l_0 = 0.34 \, m - 0.20 \, m = 0.14 \, m Allongement des ressorts de droite (qui ont la même longueur L - x_eq): L - x_eq = 0.50 \, m - 0.34 \, m = 0.16 \, m Allongement du ressort K_1 de droite : x_1, droite = (L - x_eq) - l_0 = 0.16 \, m - 0.20 \, m = -0.04 \, m Allongement du ressort K_2 de droite : x_2 = (L - x_eq) - l_0 = 0.16 \, m - 0.20 \, m = -0.04 \, m Les allongements sont : Ressort K_1 (gauche) : 0.14 m Ressort K_1 (droite) : -0.04 m (compression) Ressort K_2 (droite) : -0.04 m (compression) 2) Si on tire la barre d'une distance x_0 de la position d'équilibre, puis on lâche, la barre fait un mouvement oscillatoire autour de la position d'équilibre. a) Établir l'équation différentielle du mouvement de la barre. Step 3: Appliquer la deuxième loi de Newton. Soit x' le déplacement de la barre par rapport à sa position d'équilibre x_eq. La position de la face gauche de la barre est x_eq + x'. Les forces de rappel s'opposent au déplacement x'. Force du ressort K_1 de gauche : Sa longueur est x_eq + x'. Son allongement est (x_eq + x') - l_0 = (x_eq - l_0) + x'. La force est F_L = -K_1((x_eq - l_0) + x'). Force des ressorts K_1 et K_2 de droite : Leur longueur est L - (x_eq + x') = (L - x_eq) - x'. Leur allongement est ((L - x_eq) - x') - l_0 = ((L - x_eq) - l_0) - x'. La force totale est F_R = -(K_1 + K_2)(((L - x_eq) - l_0) - x'). La somme des forces est F_net = F_L + F_R. F_net = -K_1(x_eq - l_0 + x') - (K_1 + K_2)(L - x_eq - l_0 - x') F_net = -K_1(x_eq - l_0) - K_1 x' - (K_1 + K_2)(L - x_eq - l_0) + (K_1 + K_2)x' On sait qu'à l'équilibre, -K_1(x_eq - l_0) - (K_1 + K_2)(L - x_eq - l_0) = 0. Donc, l'équation se simplifie à : F_net = -K_1 x' + (K_1 + K_2)x' = (-K_1 + K_1 + K_2)x' = K_2 x' Attention au signe. Si x' est positif (déplacement vers la droite), le ressort de gauche tire plus fort vers la gauche (force négative), et les ressorts de droite sont moins comprimés ou plus étirés, donc leur force de rappel vers la gauche augmente (force négative). Reprenons la force de rappel : F = -k l. Si x' est le déplacement de la position d'équilibre vers la droite. Le ressort de gauche est étiré de x'. La force qu'il exerce est -K_1 x'. Les ressorts de droite sont comprimés de x'. La force qu'ils exercent est +(K_1 + K_2) x'. La force nette est F_net = -K_1 x' - (K_1 + K_2) x' = -(2K_1 + K_2)x'. Non, c'est incorrect. La force de rappel est toujours opposée au déplacement. Si la barre se déplace de x' vers la droite : Le ressort de gauche s'allonge de x'. Il tire la barre vers la gauche. Force F_L = -K_1 x'. Les ressorts de droite se compriment de x'. Ils poussent la barre vers la gauche. Force F_R = -(K_1 + K_2) x'. La force totale de rappel est F_rappel = -K_1 x' - (K_1 + K_2) x' = -(2K_1 + K_2)x'. Selon la deuxième loi de Newton, M (d^2x')/(dt^2) = F_rappel. M (d^2x')/(dt^2) = -(2K_1 + K_2)x' M (d^2x')/(dt^2) + (2K_1 + K_2)x' = 0 L'équation différentielle du mouvement est : (d^2x')/(dt^2) + (2K_1 + K_2)/(M)x' = 0 Calculons la raideur équivalente K_eq = 2K_1 + K_2: K_eq = 2 × 20 \, N · m^-1 + 50 \, N · m^-1 = 40 \, N · m^-1 + 50 \, N · m^-1 = 90 \, N · m^-1 L'équation différentielle est : (d^2x')/(dt^2) + (90)/(0.040)x' = 0 ou (d^2x')/(dt^2) + 2250x' = 0 b) En déduire l'équation horaire du mouvement. Step 4: Déterminer la pulsation propre _0. L'équation différentielle est de la forme (d^2x')/(dt^2) + _0^2 x' = 0, où _0^2 = K_eqM. _0^2 = 90 \, N · m^-10.040 \, kg = 2250 \, s^-2 _0 = sqrt(2250) \, rad · s^-1 = sqrt(225 × 10) = 15sqrt(10) \, rad · s^-1 ≈ 47.43 \, rad · s^-1 Step 5: Écrire la forme générale de la solution et appliquer les conditions initiales. La solution générale de l'équation différentielle est x'(t) = A (_0 t + ). Les conditions initiales sont : À t=0, la barre est tirée d'une distance x_0 = 0.01 \, m de sa position d'équilibre. Donc x'(0) = x_0 = 0.01 \, m. La barre est lâchée sans vitesse initiale. Donc v(0) = (dx')/(dt)(0) = 0. Appliquons la première condition : x'(0) = A () = x_0 Appliquons la deuxième condition : La vitesse est v(t) = (dx')/(dt) = -A _0 (_0 t + ). v(0) = -A _0 () = 0 Puisque A ≠ 0 et _0 ≠ 0, il faut que () = 0. Cela implique = 0 ou = . Si = 0, alors A (0) = A = x_0. Si = , alors A () = -A = x_0, donc A = -x_0. On prend généralement A positif, donc =0. Ainsi, A = x_0 = 0.01 \, m et = 0. L'équation horaire du mouvement est : x'(t) = x_0 (_0 t) x'(t) = 0.01 (15sqrt(10) t) L'équation horaire du mouvement est : x'(t) = 0.01 (15sqrt(10) t) \, m Envoie-moi la prochaine 📸

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Voici la solution détaillée aux questions posées. Partie A: Mécanique Données : Masse de la barre : M = 40 \, g = 0.040 \, kg Constante de raideur des ressorts R_1 : K_1 = 20 \, N · m^-1 Constante de raideur du ressort R_2 : K_2 = 50 \, N · m^-1 Longueur à vide des trois ressorts : l_0 = 20 \, cm = 0.20 \, m Longueur totale du système : L = 50 \, cm = 0.50 \, m Déplacement initial : x_0 = 0.01 \, m Nous allons interpréter le système comme suit, en accord avec le schéma et le nombre total de ressorts : Un ressort de raideur K_1 à gauche de la barre (en bas). Un ressort de raideur K_1 à droite de la barre (en haut). Un ressort de raideur K_2 à droite de la barre (en bas). 1) Déterminer les allongements x_1 et x_2 de chaque ressort lorsque la barre est au repos. Step 1: Déterminer la position d'équilibre de la barre. Soit x_eq la position de la face gauche de la barre par rapport au mur gauche lorsque la barre est au repos. Le ressort de gauche (raideur K_1) a une longueur x_eq. Son allongement est l_L = x_eq - l_0. La force qu'il exerce sur la barre est F_L = -K_1(x_eq - l_0). Les deux ressorts de droite (raideurs K_1 et K_2) ont une longueur L - x_eq. Leur allongement est l_R = (L - x_eq) - l_0. La force totale qu'ils exercent sur la barre est F_R = -(K_1 + K_2)((L - x_eq) - l_0). À l'équilibre, la somme des forces est nulle : F_L + F_R = 0. -K_1(x_eq - l_0) - (K_1 + K_2)((L - x_eq) - l_0) = 0 -K_1 x_eq + K_1 l_0 - (K_1 + K_2)L + (K_1 + K_2)x_eq + (K_1 + K_2)l_0 = 0 K_2 x_eq = (K_1 + K_2)L - (2K_1 + K_2)l_0 x_eq = ((K_1 + K_2)L - (2K_1 + K_2)l_0)/(K_2) Substituons les valeurs numériques : x_eq = (20 \, N · m^-1 + 50 \, N · m^-1) × 0.50 \, m - (2 × 20 \, N · m^-1 + 50 \, N · m^-1) × 0.20 \, m50 \, N · m^-1 x_eq = (70 × 0.50 - (40 + 50) × 0.20)/(50) x_eq = (35 - 90 × 0.20)/(50) = (35 - 18)/(50) = (17)/(50) = 0.34 \, m Step 2: Calculer les allongements. L'allongement x_1 est pour les ressorts de raideur K_1. Il y a un ressort K_1 à gauche et un à droite. L'allongement x_2 est pour le ressort de raideur K_2. Il y en a un à droite. Allongement du ressort K_1 de gauche : x_1, gauche = x_eq - l_0 = 0.34 \, m - 0.20 \, m = 0.14 \, m Allongement des ressorts de droite (qui ont la même longueur L - x_eq): L - x_eq = 0.50 \, m - 0.34 \, m = 0.16 \, m Allongement du ressort K_1 de droite : x_1, droite = (L - x_eq) - l_0 = 0.16 \, m - 0.20 \, m = -0.04 \, m Allongement du ressort K_2 de droite : x_2 = (L - x_eq) - l_0 = 0.16 \, m - 0.20 \, m = -0.04 \, m Les allongements sont : Ressort K_1 (gauche) : 0.14 m Ressort K_1 (droite) : -0.04 m (compression) Ressort K_2 (droite) : -0.04 m (compression) 2) Si on tire la barre d'une distance x_0 de la position d'équilibre, puis on lâche, la barre fait un mouvement oscillatoire autour de la position d'équilibre. a) Établir l'équation différentielle du mouvement de la barre. Step 3: Appliquer la deuxième loi de Newton. Soit x' le déplacement de la barre par rapport à sa position d'équilibre x_eq. La position de la face gauche de la barre est x_eq + x'. Les forces de rappel s'opposent au déplacement x'. Force du ressort K_1 de gauche : Sa longueur est x_eq + x'. Son allongement est (x_eq + x') - l_0 = (x_eq - l_0) + x'. La force est F_L = -K_1((x_eq - l_0) + x'). Force des ressorts K_1 et K_2 de droite : Leur longueur est L - (x_eq + x') = (L - x_eq) - x'. Leur allongement est ((L - x_eq) - x') - l_0 = ((L - x_eq) - l_0) - x'. La force totale est F_R = -(K_1 + K_2)(((L - x_eq) - l_0) - x'). La somme des forces est F_net = F_L + F_R. F_net = -K_1(x_eq - l_0 + x') - (K_1 + K_2)(L - x_eq - l_0 - x') F_net = -K_1(x_eq - l_0) - K_1 x' - (K_1 + K_2)(L - x_eq - l_0) + (K_1 + K_2)x' On sait qu'à l'équilibre, -K_1(x_eq - l_0) - (K_1 + K_2)(L - x_eq - l_0) = 0. Donc, l'équation se simplifie à : F_net = -K_1 x' + (K_1 + K_2)x' = (-K_1 + K_1 + K_2)x' = K_2 x' Attention au signe. Si x' est positif (déplacement vers la droite), le ressort de gauche tire plus fort vers la gauche (force négative), et les ressorts de droite sont moins comprimés ou plus étirés, donc leur force de rappel vers la gauche augmente (force négative). Reprenons la force de rappel : F = -k l. Si x' est le déplacement de la position d'équilibre vers la droite. Le ressort de gauche est étiré de x'. La force qu'il exerce est -K_1 x'. Les ressorts de droite sont comprimés de x'. La force qu'ils exercent est +(K_1 + K_2) x'. La force nette est F_net = -K_1 x' - (K_1 + K_2) x' = -(2K_1 + K_2)x'. Non, c'est incorrect. La force de rappel est toujours opposée au déplacement. Si la barre se déplace de x' vers la droite : Le ressort de gauche s'allonge de x'. Il tire la barre vers la gauche. Force F_L = -K_1 x'. Les ressorts de droite se compriment de x'. Ils poussent la barre vers la gauche. Force F_R = -(K_1 + K_2) x'. La force totale de rappel est F_rappel = -K_1 x' - (K_1 + K_2) x' = -(2K_1 + K_2)x'. Selon la deuxième loi de Newton, M (d^2x')/(dt^2) = F_rappel. M (d^2x')/(dt^2) = -(2K_1 + K_2)x' M (d^2x')/(dt^2) + (2K_1 + K_2)x' = 0 L'équation différentielle du mouvement est : (d^2x')/(dt^2) + (2K_1 + K_2)/(M)x' = 0 Calculons la raideur équivalente K_eq = 2K_1 + K_2: K_eq = 2 × 20 \, N · m^-1 + 50 \, N · m^-1 = 40 \, N · m^-1 + 50 \, N · m^-1 = 90 \, N · m^-1 L'équation différentielle est : (d^2x')/(dt^2) + (90)/(0.040)x' = 0 ou (d^2x')/(dt^2) + 2250x' = 0 b) En déduire l'équation horaire du mouvement. Step 4: Déterminer la pulsation propre _0. L'équation différentielle est de la forme (d^2x')/(dt^2) + _0^2 x' = 0, où _0^2 = K_eqM. _0^2 = 90 \, N · m^-10.040 \, kg = 2250 \, s^-2 _0 = sqrt(2250) \, rad · s^-1 = sqrt(225 × 10) = 15sqrt(10) \, rad · s^-1 ≈ 47.43 \, rad · s^-1 Step 5: Écrire la forme générale de la solution et appliquer les conditions initiales. La solution générale de l'équation différentielle est x'(t) = A (_0 t + ). Les conditions initiales sont : À t=0, la barre est tirée d'une distance x_0 = 0.01 \, m de sa position d'équilibre. Donc x'(0) = x_0 = 0.01 \, m. La barre est lâchée sans vitesse initiale. Donc v(0) = (dx')/(dt)(0) = 0. Appliquons la première condition : x'(0) = A () = x_0 Appliquons la deuxième condition : La vitesse est v(t) = (dx')/(dt) = -A _0 (_0 t + ). v(0) = -A _0 () = 0 Puisque A ≠ 0 et _0 ≠ 0, il faut que () = 0. Cela implique = 0 ou = . Si = 0, alors A (0) = A = x_0. Si = , alors A () = -A = x_0, donc A = -x_0. On prend généralement A positif, donc =0. Ainsi, A = x_0 = 0.01 \, m et = 0. L'équation horaire du mouvement est : x'(t) = x_0 (_0 t) x'(t) = 0.01 (15sqrt(10) t) L'équation horaire du mouvement est : x'(t) = 0.01 (15sqrt(10) t) \, m Envoie-moi la prochaine 📸

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