Déterminer les allongements x1 et x2 de chaque ressort lorsque la barre est au repos. Si on tire la barre d'une distance x0 de la position d'équilibre, puis on lâche, la barre fait un mouvement oscillatoire autour de la position d'équilibre.

Soit $x_{eq}$ la position de la face gauche de la barre par rapport au mur gauche lorsque la barre est au repos.
Le ressort de gauche (raideur $K_1$) a une longueur $x_{eq}$. Son allongement est $\Delta l_L = x_{eq} - l_0$. La force qu'il exerce sur la barre est $F_L = -K_1(x_{eq} - l_0)$.
Les deux ressorts de droite (raideurs $K_1$ et $K_2$) ont une longueur $L - x_{eq}$. Leur allongement est $\Delta l_R = (L - x_{eq}) - l_0$. La force totale qu'ils exercent sur la barre est $F_R = -(K_1 + K_2)((L - x_{eq}) - l_0)$.
À l'équilibre, la somme des forces est nulle : $F_L + F_R = 0$.

$$-K_1(x_{eq} - l_0) - (K_1 + K_2)((L - x_{eq}) - l_0) = 0$$ $$-K_1 x_{eq} + K_1 l_0 - (K_1 + K_2)L + (K_1 + K_2)x_{eq} + (K_1 + K_2)l_0 = 0$$ $$K_2 x_{eq} = (K_1 + K_2)L - (2K_1 + K_2)l_0$$ $$x_{eq} = \frac{(K_1 + K_2)L - (2K_1 + K_2)l_0}{K_2}$$

Substituons les valeurs numériques :

$$x_{eq} = \frac{(20 \, \text{N} \cdot \text{m}^{-1} + 50 \, \text{N} \cdot \text{m}^{-1}) \times 0.50 \, \text{m} - (2 \times 20 \, \text{N} \cdot \text{m}^{-1} + 50 \, \text{N} \cdot \text{m}^{-1}) \times 0.20 \, \text{m}}{50 \, \text{N} \cdot \text{m}^{-1}}$$ $$x_{eq} = \frac{70 \times 0.50 - (40 + 50) \times 0.20}{50}$$ $$x_{eq} = \frac{35 - 90 \times 0.20}{50} = \frac{35 - 18}{50} = \frac{17}{50} = 0.34 \, \text{m}$$

L'allongement $x_1$ est pour les ressorts de raideur $K_1$. Il y a un ressort $K_1$ à gauche et un à droite.
L'allongement $x_2$ est pour le ressort de raideur $K_2$. Il y en a un à droite.
Allongement du ressort $K_1$ de gauche :

$$x_{1, \text{gauche}} = x_{eq} - l_0 = 0.34 \, \text{m} - 0.20 \, \text{m} = 0.14 \, \text{m}$$

Allongement des ressorts de droite (qui ont la même longueur $L - x_{eq}$):

$$L - x_{eq} = 0.50 \, \text{m} - 0.34 \, \text{m} = 0.16 \, \text{m}$$

Allongement du ressort $K_1$ de droite :

$$x_{1, \text{droite}} = (L - x_{eq}) - l_0 = 0.16 \, \text{m} - 0.20 \, \text{m} = -0.04 \, \text{m}$$

Allongement du ressort $K_2$ de droite :

$$x_2 = (L - x_{eq}) - l_0 = 0.16 \, \text{m} - 0.20 \, \text{m} = -0.04 \, \text{m}$$

Les allongements sont :

• Ressort $K_1$ (gauche) : $\boxed{\text{0.14 m}}$
• Ressort $K_1$ (droite) : $\boxed{\text{-0.04 m}}$ (compression)
• Ressort $K_2$ (droite) : $\boxed{\text{-0.04 m}}$ (compression)

2) Si on tire la barre d'une distance $x_0$ de la position d'équilibre, puis on lâche, la barre fait un mouvement oscillatoire autour de la position d'équilibre.

a) Établir l'équation différentielle du mouvement de la barre.

Soit $x'$ le déplacement de la barre par rapport à sa position d'équilibre $x_{eq}$. La position de la face gauche de la barre est $x_{eq} + x'$.
Les forces de rappel s'opposent au déplacement $x'$.

• Force du ressort $K_1$ de gauche : Sa longueur est $x_{eq} + x'$. Son allongement est $(x_{eq} + x') - l_0 = (x_{eq} - l_0) + x'$. La force est $F_L = -K_1((x_{eq} - l_0) + x')$.
• Force des ressorts $K_1$ et $K_2$ de droite : Leur longueur est $L - (x_{eq} + x') = (L - x_{eq}) - x'$. Leur allongement est $((L - x_{eq}) - x') - l_0 = ((L - x_{eq}) - l_0) - x'$. La force totale est $F_R = -(K_1 + K_2)(((L - x_{eq}) - l_0) - x')$. La somme des forces est $F_{net} = F_L + F_R$.

$$F_{net} = -K_1(x_{eq} - l_0 + x') - (K_1 + K_2)(L - x_{eq} - l_0 - x')$$ $$F_{net} = -K_1(x_{eq} - l_0) - K_1 x' - (K_1 + K_2)(L - x_{eq} - l_0) + (K_1 + K_2)x'$$

On sait qu'à l'équilibre, $-K_1(x_{eq} - l_0) - (K_1 + K_2)(L - x_{eq} - l_0) = 0$. Donc, l'équation se simplifie à :

$$F_{net} = -K_1 x' + (K_1 + K_2)x' = (-K_1 + K_1 + K_2)x' = K_2 x'$$

Attention au signe. Si $x'$ est positif (déplacement vers la droite), le ressort de gauche tire plus fort vers la gauche (force négative), et les ressorts de droite sont moins comprimés ou plus étirés, donc leur force de rappel vers la gauche augmente (force négative). Reprenons la force de rappel : $F = -k \Delta l$. Si $x'$ est le déplacement de la position d'équilibre vers la droite.

• Le ressort de gauche est étiré de $x'$. La force qu'il exerce est $-K_1 x'$.
• Les ressorts de droite sont comprimés de $x'$. La force qu'ils exercent est $+(K_1 + K_2) x'$. La force nette est $F_{net} = -K_1 x' - (K_1 + K_2) x' = -(2K_1 + K_2)x'$. Non, c'est incorrect. La force de rappel est toujours opposée au déplacement. Si la barre se déplace de $x'$ vers la droite :
• Le ressort de gauche s'allonge de $x'$. Il tire la barre vers la gauche. Force $F_L = -K_1 x'$.
• Les ressorts de droite se compriment de $x'$. Ils poussent la barre vers la gauche. Force $F_R = -(K_1 + K_2) x'$. La force totale de rappel est $F_{rappel} = -K_1 x' - (K_1 + K_2) x' = -(2K_1 + K_2)x'$. Selon la deuxième loi de Newton, $M \frac{d^2x'}{dt^2} = F_{rappel}$.

$$M \frac{d^2x'}{dt^2} = -(2K_1 + K_2)x'$$ $$M \frac{d^2x'}{dt^2} + (2K_1 + K_2)x' = 0$$

L'équation différentielle du mouvement est :

$$\frac{d^2x'}{dt^2} + \frac{2K_1 + K_2}{M}x' = 0$$

Calculons la raideur équivalente $K_{eq} = 2K_1 + K_2$:

$$K_{eq} = 2 \times 20 \, \text{N} \cdot \text{m}^{-1} + 50 \, \text{N} \cdot \text{m}^{-1} = 40 \, \text{N} \cdot \text{m}^{-1} + 50 \, \text{N} \cdot \text{m}^{-1} = 90 \, \text{N} \cdot \text{m}^{-1}$$

L'équation différentielle est :

$$\boxed{\frac{d^2x'}{dt^2} + \frac{90}{0.040}x' = 0 \quad \text{ou} \quad \frac{d^2x'}{dt^2} + 2250x' = 0}$$

b) En déduire l'équation horaire du mouvement.

L'équation différentielle est de la forme $\frac{d^2x'}{dt^2} + \omega_0^2 x' = 0$, où $\omega_0^2 = \frac{K_{eq}}{M}$.

$$\omega_0^2 = \frac{90 \, \text{N} \cdot \text{m}^{-1}}{0.040 \, \text{kg}} = 2250 \, \text{s}^{-2}$$ $$\omega_0 = \sqrt{2250} \, \text{rad} \cdot \text{s}^{-1} = \sqrt{225 \times 10} = 15\sqrt{10} \, \text{rad} \cdot \text{s}^{-1} \approx 47.43 \, \text{rad} \cdot \text{s}^{-1}$$

La solution générale de l'équation différentielle est $x'(t) = A \cos(\omega_0 t + \phi)$.
Les conditions initiales sont :

• À $t=0$, la barre est tirée d'une distance $x_0 = 0.01 \, \text{m}$ de sa position d'équilibre. Donc $x'(0) = x_0 = 0.01 \, \text{m}$.
• La barre est lâchée sans vitesse initiale. Donc $v(0) = \frac{dx'}{dt}(0) = 0$.

Appliquons la première condition :

$$x'(0) = A \cos(\phi) = x_0$$

Appliquons la deuxième condition :
La vitesse est $v(t) = \frac{dx'}{dt} = -A \omega_0 \sin(\omega_0 t + \phi)$.

$$v(0) = -A \omega_0 \sin(\phi) = 0$$

Puisque $A \neq 0$ et $\omega_0 \neq 0$, il faut que $\sin(\phi) = 0$. Cela implique $\phi = 0$ ou $\phi = \pi$.
Si $\phi = 0$, alors $A \cos(0) = A = x_0$.
Si $\phi = \pi$, alors $A \cos(\pi) = -A = x_0$, donc $A = -x_0$. On prend généralement $A$ positif, donc $\phi=0$.
Ainsi, $A = x_0 = 0.01 \, \text{m}$ et $\phi = 0$.

L'équation horaire du mouvement est :

$$x'(t) = x_0 \cos(\omega_0 t)$$ $$x'(t) = 0.01 \cos(15\sqrt{10} t)$$

L'équation horaire du mouvement est :

$$\boxed{x'(t) = 0.01 \cos(15\sqrt{10} t) \, \text{m}}$$