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Expérimentons en fonction de y, z, et I la vitesse Vg du S au point B, et d'après le système étudier le centre d'inertie d'un solide: force appliquée: son poids et réaction (R).

Physics

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Answer

a

V0=2ghsin⁡αV_0 = \frac{\sqrt{2gh}}{\sin \alpha}

Step-by-step solution

4 steps

Voici la solution détaillée à la question posée.

Part a· 4 steps

Exprimons en fonction de gg, hh, et α\alpha la vitesse V0V_0 de S au point B.

Nous allons interpréter V0V_0 comme la vitesse initiale de lancement du projectile depuis l'origine, hh comme la hauteur maximale atteinte par le projectile (coordonnée y du point C sur le schéma), et α\alpha comme l'angle de lancement initial par rapport à l'horizontale. Le point B est un point sur la trajectoire, mais la question demande d'exprimer V0V_0 en fonction de hh et α\alpha, qui sont des caractéristiques globales de la trajectoire.

  1. Établir les équations du mouvement.

    Le projectile est lancé de l'origine (0,0)(0,0) avec une vitesse initiale V0V_0 et un angle α\alpha. Les seules forces agissant sont la gravité.
    Les composantes de la vitesse initiale sont:

    vx0=V0cos⁡αv_{x0} = V_0 \cos \alpha vy0=V0sin⁡αv_{y0} = V_0 \sin \alpha

    Les équations de la vitesse en fonction du temps tt sont:

    vx(t)=V0cos⁡αv_x(t) = V_0 \cos \alpha vy(t)=V0sin⁡α−gtv_y(t) = V_0 \sin \alpha - gt

    Les équations de la position en fonction du temps tt sont:

    x(t)=(V0cos⁡α)tx(t) = (V_0 \cos \alpha) t y(t)=(V0sin⁡α)t−12gt2y(t) = (V_0 \sin \alpha) t - \frac{1}{2}gt^2

  2. Déterminer le temps pour atteindre la hauteur maximale.

    La hauteur maximale hh est atteinte lorsque la composante verticale de la vitesse vy(t)v_y(t) est nulle. Soit tCt_C ce temps:

    vy(tC)=V0sin⁡α−gtC=0v_y(t_C) = V_0 \sin \alpha - gt_C = 0 tC=V0sin⁡αgt_C = \frac{V_0 \sin \alpha}{g}

  3. Exprimer la hauteur maximale hh.

    La hauteur maximale hh est la valeur de y(tC)y(t_C):

    h=(V0sin⁡α)tC−12gtC2h = (V_0 \sin \alpha) t_C - \frac{1}{2}gt_C^2

    Substituons tCt_C:

    h=(V0sin⁡α)(V0sin⁡αg)−12g(V0sin⁡αg)2h = (V_0 \sin \alpha) \left(\frac{V_0 \sin \alpha}{g}\right) - \frac{1}{2}g \left(\frac{V_0 \sin \alpha}{g}\right)^2 h=V02sin⁡2αg−12gV02sin⁡2αg2h = \frac{V_0^2 \sin^2 \alpha}{g} - \frac{1}{2}g \frac{V_0^2 \sin^2 \alpha}{g^2} h=V02sin⁡2αg−12V02sin⁡2αgh = \frac{V_0^2 \sin^2 \alpha}{g} - \frac{1}{2} \frac{V_0^2 \sin^2 \alpha}{g} h=12V02sin⁡2αgh = \frac{1}{2} \frac{V_0^2 \sin^2 \alpha}{g}

  4. Isoler V0V_0.

    Nous voulons exprimer V0V_0 en fonction de gg, hh, et α\alpha:

    2gh=V02sin⁡2α2gh = V_0^2 \sin^2 \alpha V02=2ghsin⁡2αV_0^2 = \frac{2gh}{\sin^2 \alpha} V0=2ghsin⁡2αV_0 = \sqrt{\frac{2gh}{\sin^2 \alpha}}

    Puisque V0V_0 est une vitesse (scalaire positif) et sin⁡α\sin \alpha est positif pour un angle de lancement typique (0<α<π0 < \alpha < \pi), nous pouvons écrire:

    V0=2ghsin⁡αV_0 = \frac{\sqrt{2gh}}{\sin \alpha}

    La vitesse initiale V0V_0 est:

    V0=2ghsin⁡α\boxed{V_0 = \frac{\sqrt{2gh}}{\sin \alpha}}

Part b

Système étudié et forces appliquées.

Cette partie de l'énoncé décrit le contexte physique du problème, elle ne contient pas de question à résoudre.

  • Le système étudié est un solide.
  • Les forces appliquées sont son poids (P⃗\vec{P}) et il n'y a pas de réaction (R⃗\vec{R}), ce qui signifie qu'il n'y a pas de force de contact normale (le solide est en l'air).
  • Le référentiel terrestre est supposé Galiléen.
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