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Un solide S de masse m = 300 g est en équilibre sur un plan incliné faisant un angle alpha = 30° avec l'horizontale. Une poulie de rayon R = 10 cm et de moment d'inertie J = 15x10⁻⁴ kg.m2 est solidai

Physics

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Answer

a≈3.27 m⋅s−2a \approx 3.27 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}

T≈0.490 NT \approx 0.490 \text{ N}

αangulaire≈32.7 rad⋅s−2\alpha_{angulaire} \approx 32.7 \text{ rad} \cdot \text{s}^{-2}

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6 steps

Voici la solution de l'exercice 2.

Données :

  • Rayon de la poulie, R=10 cm=0.10 mR = 10 \text{ cm} = 0.10 \text{ m}
  • Moment d'inertie de la poulie, J=15×10−4 kg⋅m2J = 15 \times 10^{-4} \text{ kg} \cdot \text{m}^2 (Assumant que 15.10415.10^4 est une faute de frappe pour 15×10−415 \times 10^{-4}, car la valeur 15×10415 \times 10^4 serait irréaliste pour une poulie de cette taille.)
  • Masse du solide (S), m=300 g=0.300 kgm = 300 \text{ g} = 0.300 \text{ kg}
  • Angle d'inclinaison, α=30∘\alpha = 30^\circ
  • Accélération de la pesanteur, g=9.8 m⋅s−2g = 9.8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2} (Utilisant la valeur la plus spécifique donnée à la fin de l'énoncé.)
  • Le système est abandonné sans vitesse initiale (v0=0v_0 = 0, ω0=0\omega_0 = 0).
  • Les frottements sont négligeables.
  • Le fil est inextensible et de masse négligeable.

Objectif : Calculer l'accélération du solide (S), la tension du fil et l'accélération angulaire de la poulie.

  1. Analyse des forces et torques.

    • Pour le solide (S) :

      • Le poids PS=mgP_S = mg agit verticalement vers le bas. Sa composante le long du plan incliné est PSsin⁡α=mgsin⁡αP_S \sin \alpha = mg \sin \alpha.
      • La tension TT du fil agit vers le haut le long du plan incliné.
      • La force normale NN agit perpendiculairement au plan.
      • Appliquons la deuxième loi de Newton le long de l'axe du plan incliné (vers le bas) : mgsin⁡α−T=ma(1)mg \sin \alpha - T = ma \quad (1) où aa est l'accélération linéaire du solide.

    • Pour la poulie :

      • La tension TT du fil crée un couple (torque) τ=T×R\tau = T \times R qui fait tourner la poulie.
      • Appliquons la deuxième loi de Newton pour la rotation : τ=Jαangulaire\tau = J \alpha_{angulaire} T×R=Jαangulaire(2)T \times R = J \alpha_{angulaire} \quad (2) où αangulaire\alpha_{angulaire} est l'accélération angulaire de la poulie.

  2. Relation entre l'accélération linéaire et angulaire.

    Puisque le fil est inextensible et ne glisse pas sur la poulie :

    a=Rαangulaire  ⟹  αangulaire=aR(3)a = R \alpha_{angulaire} \implies \alpha_{angulaire} = \frac{a}{R} \quad (3)

  3. Résolution du système d'équations.

    Substituons (3) dans (2) :

    T×R=JaR  ⟹  T=JaR2(4)T \times R = J \frac{a}{R} \implies T = \frac{J a}{R^2} \quad (4)

    Substituons (4) dans (1) :

    mgsin⁡α−JaR2=mamg \sin \alpha - \frac{J a}{R^2} = ma mgsin⁡α=ma+JaR2mg \sin \alpha = ma + \frac{J a}{R^2} mgsin⁡α=a(m+JR2)mg \sin \alpha = a \left(m + \frac{J}{R^2}\right)

  4. Calcul de l'accélération linéaire aa.

    Isolons aa :

    a=mgsin⁡αm+JR2a = \frac{mg \sin \alpha}{m + \frac{J}{R^2}}

    Substituons les valeurs numériques :

    a=0.300 kg×9.8 m⋅s−2×sin⁡(30∘)0.300 kg+15×10−4 kg⋅m2(0.10 m)2a = \frac{0.300 \text{ kg} \times 9.8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2} \times \sin(30^\circ)}{0.300 \text{ kg} + \frac{15 \times 10^{-4} \text{ kg} \cdot \text{m}^2}{(0.10 \text{ m})^2}} a=0.300×9.8×0.50.300+15×10−40.01a = \frac{0.300 \times 9.8 \times 0.5}{0.300 + \frac{15 \times 10^{-4}}{0.01}} a=1.470.300+0.15a = \frac{1.47}{0.300 + 0.15} a=1.470.45a = \frac{1.47}{0.45} a≈3.27 m⋅s−2\boxed{a \approx 3.27 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}}

  5. Calcul de la tension TT.

    Utilisons l'équation (4) :

    T=JaR2T = \frac{J a}{R^2} T=15×10−4 kg⋅m2×3.2666... m⋅s−2(0.10 m)2T = \frac{15 \times 10^{-4} \text{ kg} \cdot \text{m}^2 \times 3.2666... \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}}{(0.10 \text{ m})^2} T=15×10−4×3.2666...0.01T = \frac{15 \times 10^{-4} \times 3.2666...}{0.01} T=0.15×3.2666...T = 0.15 \times 3.2666... T≈0.490 N\boxed{T \approx 0.490 \text{ N}}

  6. Calcul de l'accélération angulaire αangulaire\alpha_{angulaire}.

    Utilisons l'équation (3) :

    αangulaire=aR\alpha_{angulaire} = \frac{a}{R} αangulaire=3.2666... m⋅s−20.10 m\alpha_{angulaire} = \frac{3.2666... \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}}{0.10 \text{ m}} αangulaire≈32.7 rad⋅s−2\boxed{\alpha_{angulaire} \approx 32.7 \text{ rad} \cdot \text{s}^{-2}}
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