Explain the dimensional method to check if the formula T = 2π(m/k) for the time period of a spring-mass system is dimensionally correct. If not, derive the correct formula.

Question

Asked on May 27, 2026Physics

This physics problem tests your understanding of fundamental physical laws and their applications. The step-by-step solution below breaks down the problem using relevant equations and physical reasoning.

Accepted Answer · 2026-05-27T05:00:01.204Z

यहाँ दिए गए प्रश्न को हल करने के लिए, हम विमीय विधि का उपयोग करेंगे। Step 1: भौतिक राशियों की विमाएँ (Dimensions of physical quantities) दोलनकाल T की विमा: [T] = [M^0 L^0 T^1] द्रव्यमान m की विमा: [m] = [M^1 L^0 T^0] स्प्रिंग नियतांक k की विमा: बल F = kx से, k = (F)/(x) बल F की विमा: [F] = [M^1 L^1 T^-2] विस्थापन x की विमा: [x] = [L^1] अतः, k की विमा: [k] = [M^1 L^1 T^-2][L^1] = [M^1 L^0 T^-2] Step 2: दिए गए सूत्र की विमीय शुद्धता की जाँच (Checking dimensional correctness of the given formula) दिया गया सूत्र है: T = 2 (m)/(k) बायाँ पक्ष (LHS): T की विमा [T^1] है। दायाँ पक्ष (RHS): 2 एक विमाहीन नियतांक है। (m)/(k) की विमा: [(m)/(k)] = ([M^1])/([M^1 T^-2)] = [T^2] अतः, दाएँ पक्ष की विमा [T^2] है। Step 3: निष्कर्ष (Conclusion) चूँकि बाएँ पक्ष की विमा [T^1] और दाएँ पक्ष की विमा [T^2] बराबर नहीं हैं ([T^1] ≠ [T^2]), इसलिए दिया गया सूत्र T = 2 (m)/(k) विमीय रूप से अशुद्ध है। Step 4: सही सूत्र की स्थापना (Establishing the correct formula) मान लीजिए दोलनकाल T द्रव्यमान m और स्प्रिंग नियतांक k पर निर्भर करता है, इस प्रकार: T m^a k^b या T = C m^a k^b जहाँ C एक विमाहीन नियतांक है। Step 5: विमीय समीकरण लिखना (Writing the dimensional equation) दोनों पक्षों की विमाएँ बराबर होनी चाहिए: [M^0 L^0 T^1] = [M^1]^a [M^1 T^-2]^b [M^0 L^0 T^1] = [M^a+b L^0 T^-2b] Step 6: घातों की तुलना करना (Comparing powers) दोनों पक्षों में M, L, T की घातों की तुलना करने पर: M की घातों की तुलना: 0 = a+b (समीकरण 1) T की घातों की तुलना: 1 = -2b (समीकरण 2) Step 7: a और b के मान ज्ञात करना (Finding values of a and b) समीकरण 2 से: b = -(1)/(2) b का मान समीकरण 1 में रखने पर: 0 = a + (-(1)/(2)) a = (1)/(2) Step 8: सही सूत्र लिखना (Writing the correct formula) a = (1)/(2) और b = -(1)/(2) के मानों को T = C m^a k^b में रखने पर: T = C m^1/2 k^-1/2 T = C sqrt(m) (1)/(sqrt(k)) T = C sqrt((m)/(k)) प्रायोगिक रूप से, विमाहीन नियतांक C = 2 होता है। अतः, सरल आवर्त दोलन करते हुए स्प्रिंग से लटके पिण्ड के दोलनकाल का सही सूत्र है: T = 2 sqrt((m)/(k)) Send me the next one 📸

Accepted Answer · 2026-05-27T05:00:01.204Z

यहाँ दिए गए प्रश्न को हल करने के लिए, हम विमीय विधि का उपयोग करेंगे। Step 1: भौतिक राशियों की विमाएँ (Dimensions of physical quantities) दोलनकाल T की विमा: [T] = [M^0 L^0 T^1] द्रव्यमान m की विमा: [m] = [M^1 L^0 T^0] स्प्रिंग नियतांक k की विमा: बल F = kx से, k = (F)/(x) बल F की विमा: [F] = [M^1 L^1 T^-2] विस्थापन x की विमा: [x] = [L^1] अतः, k की विमा: [k] = [M^1 L^1 T^-2][L^1] = [M^1 L^0 T^-2] Step 2: दिए गए सूत्र की विमीय शुद्धता की जाँच (Checking dimensional correctness of the given formula) दिया गया सूत्र है: T = 2 (m)/(k) बायाँ पक्ष (LHS): T की विमा [T^1] है। दायाँ पक्ष (RHS): 2 एक विमाहीन नियतांक है। (m)/(k) की विमा: [(m)/(k)] = ([M^1])/([M^1 T^-2)] = [T^2] अतः, दाएँ पक्ष की विमा [T^2] है। Step 3: निष्कर्ष (Conclusion) चूँकि बाएँ पक्ष की विमा [T^1] और दाएँ पक्ष की विमा [T^2] बराबर नहीं हैं ([T^1] ≠ [T^2]), इसलिए दिया गया सूत्र T = 2 (m)/(k) विमीय रूप से अशुद्ध है। Step 4: सही सूत्र की स्थापना (Establishing the correct formula) मान लीजिए दोलनकाल T द्रव्यमान m और स्प्रिंग नियतांक k पर निर्भर करता है, इस प्रकार: T m^a k^b या T = C m^a k^b जहाँ C एक विमाहीन नियतांक है। Step 5: विमीय समीकरण लिखना (Writing the dimensional equation) दोनों पक्षों की विमाएँ बराबर होनी चाहिए: [M^0 L^0 T^1] = [M^1]^a [M^1 T^-2]^b [M^0 L^0 T^1] = [M^a+b L^0 T^-2b] Step 6: घातों की तुलना करना (Comparing powers) दोनों पक्षों में M, L, T की घातों की तुलना करने पर: M की घातों की तुलना: 0 = a+b (समीकरण 1) T की घातों की तुलना: 1 = -2b (समीकरण 2) Step 7: a और b के मान ज्ञात करना (Finding values of a and b) समीकरण 2 से: b = -(1)/(2) b का मान समीकरण 1 में रखने पर: 0 = a + (-(1)/(2)) a = (1)/(2) Step 8: सही सूत्र लिखना (Writing the correct formula) a = (1)/(2) और b = -(1)/(2) के मानों को T = C m^a k^b में रखने पर: T = C m^1/2 k^-1/2 T = C sqrt(m) (1)/(sqrt(k)) T = C sqrt((m)/(k)) प्रायोगिक रूप से, विमाहीन नियतांक C = 2 होता है। अतः, सरल आवर्त दोलन करते हुए स्प्रिंग से लटके पिण्ड के दोलनकाल का सही सूत्र है: T = 2 sqrt((m)/(k)) Send me the next one 📸

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