Explain the dimensional method to check if the formula T = 2π(m/k) for the time period of a spring-mass system is dimensionally correct. If not, derive the correct formula.

• दोलनकाल $T$ की विमा: $[T] = [M^0 L^0 T^1]$
• द्रव्यमान $m$ की विमा: $[m] = [M^1 L^0 T^0]$
• स्प्रिंग नियतांक $k$ की विमा: बल $F = kx$ से, $k = \frac{F}{x}$
  • बल $F$ की विमा: $[F] = [M^1 L^1 T^{-2}]$
  • विस्थापन $x$ की विमा: $[x] = [L^1]$
  • अतः, $k$ की विमा: $[k] = \frac{[M^1 L^1 T^{-2}]}{[L^1]} = [M^1 L^0 T^{-2}]$

दिया गया सूत्र है: $T = 2\pi \frac{m}{k}$

• बायाँ पक्ष (LHS): $T$ की विमा $[T^1]$ है।
• दायाँ पक्ष (RHS): $2\pi$ एक विमाहीन नियतांक है।
  • $\frac{m}{k}$ की विमा: $$\left[\frac{m}{k}\right] = \frac{[M^1]}{[M^1 T^{-2}]} = [T^2]$$
  • अतः, दाएँ पक्ष की विमा $[T^2]$ है।

चूँकि बाएँ पक्ष की विमा $[T^1]$ और दाएँ पक्ष की विमा $[T^2]$ बराबर नहीं हैं ($[T^1] \neq [T^2]$), इसलिए दिया गया सूत्र $T = 2\pi \frac{m}{k}$ विमीय रूप से अशुद्ध है।

मान लीजिए दोलनकाल $T$ द्रव्यमान $m$ और स्प्रिंग नियतांक $k$ पर निर्भर करता है, इस प्रकार:

या

जहाँ $C$ एक विमाहीन नियतांक है।

दोनों पक्षों की विमाएँ बराबर होनी चाहिए:

दोनों पक्षों में M, L, T की घातों की तुलना करने पर:

• M की घातों की तुलना: $0 = a+b$ (समीकरण 1)
• T की घातों की तुलना: $1 = -2b$ (समीकरण 2)

समीकरण 2 से:

$b$ का मान समीकरण 1 में रखने पर:

$a = \frac{1}{2}$ और $b = -\frac{1}{2}$ के मानों को $T = C m^a k^b$ में रखने पर:

प्रायोगिक रूप से, विमाहीन नियतांक $C = 2\pi$ होता है।
अतः, सरल आवर्त दोलन करते हुए स्प्रिंग से लटके पिण्ड के दोलनकाल का सही सूत्र है: