In an experiment to measure focal length (f) of convex lens, the least count of the measuring scales for the position of object (u) and for the position of image (v) are and respectively. The error in the measurement of the focal length of the convex lens will be

लेंस सूत्र है:

$$\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$$

इसे $f$ के लिए हल करने पर:

$$\frac{1}{f} = \frac{u - v}{uv}$$ $$f = \frac{uv}{u - v}$$

किसी भी राशि $X = \frac{AB}{C}$ के लिए भिन्नात्मक त्रुटि $\frac{\Delta X}{X} = \frac{\Delta A}{A} + \frac{\Delta B}{B} + \frac{\Delta C}{C}$ होती है। यहाँ, $f = \frac{uv}{u-v}$ है।
तो, $f$ में भिन्नात्मक त्रुटि होगी:

$$\frac{\Delta f}{f} = \frac{\Delta u}{u} + \frac{\Delta v}{v} + \frac{\Delta (u-v)}{u-v}$$

चूंकि $\Delta (u-v) = \Delta u + \Delta v$ (अधिकतम संभावित त्रुटि के लिए), हमें मिलता है:

$$\frac{\Delta f}{f} = \frac{\Delta u}{u} + \frac{\Delta v}{v} + \frac{\Delta u + \Delta v}{u-v}$$

$\Delta f$ ज्ञात करने के लिए, हम $\frac{\Delta f}{f}$ को $f$ से गुणा करते हैं:

$$\Delta f = f \left( \frac{\Delta u}{u} + \frac{\Delta v}{v} + \frac{\Delta u + \Delta v}{u-v} \right)$$

$f = \frac{uv}{u-v}$ को प्रतिस्थापित करने पर:

$$\Delta f = \frac{uv}{u-v} \left( \frac{\Delta u}{u} + \frac{\Delta v}{v} + \frac{\Delta u + \Delta v}{u-v} \right)$$

कोष्ठक के अंदर के पदों को सरल करें:

$$\Delta f = \frac{uv}{u-v} \left( \frac{v \Delta u + u \Delta v}{uv} + \frac{\Delta u + \Delta v}{u-v} \right)$$ $$\Delta f = \frac{v \Delta u + u \Delta v}{u-v} + \frac{uv(\Delta u + \Delta v)}{(u-v)^2}$$

यह विकल्प (ii) में दिए गए व्यंजक से मेल नहीं खाता है। आइए विकल्प (ii) को देखें और देखें कि क्या यह किसी अन्य तरीके से प्राप्त किया जा सकता है।

विकल्प (ii) है: $2f \left[ \frac{\Delta u}{u} + \frac{\Delta v}{v} \right]$
यह सही नहीं है क्योंकि यह $\Delta(u-v)$ पद को ध्यान में नहीं रखता है।

विकल्प (iii) है: $\frac{f^2}{u^2} \Delta u + \frac{f^2}{v^2} \Delta v$
यह भी सही नहीं है।

विकल्प (iv) है: $\frac{f^2}{u} \left[ \frac{\Delta u}{u} + \frac{\Delta v}{v} \right]$
यह भी सही नहीं है।

आइए हम त्रुटि के प्रसार के लिए सामान्य सूत्र का उपयोग करें।
यदि $f = \frac{uv}{u-v}$, तो हम आंशिक अवकलज का उपयोग कर सकते हैं:

$$\Delta f = \left| \frac{\partial f}{\partial u} \right| \Delta u + \left| \frac{\partial f}{\partial v} \right| \Delta v$$

पहले $\frac{\partial f}{\partial u}$ ज्ञात करें:

$$\frac{\partial f}{\partial u} = \frac{\partial}{\partial u} \left( \frac{uv}{u-v} \right) = v \frac{\partial}{\partial u} \left( \frac{u}{u-v} \right)$$ $$\frac{\partial}{\partial u} \left( \frac{u}{u-v} \right) = \frac{(u-v)(1) - u(1)}{(u-v)^2} = \frac{u-v-u}{(u-v)^2} = \frac{-v}{(u-v)^2}$$

तो,

$$\frac{\partial f}{\partial u} = v \left( \frac{-v}{(u-v)^2} \right) = \frac{-v^2}{(u-v)^2}$$

अब $\frac{\partial f}{\partial v}$ ज्ञात करें:

$$\frac{\partial f}{\partial v} = \frac{\partial}{\partial v} \left( \frac{uv}{u-v} \right) = u \frac{\partial}{\partial v} \left( \frac{v}{u-v} \right)$$ $$\frac{\partial}{\partial v} \left( \frac{v}{u-v} \right) = \frac{(u-v)(1) - v(-1)}{(u-v)^2} = \frac{u-v+v}{(u-v)^2} = \frac{u}{(u-v)^2}$$

तो,

$$\frac{\partial f}{\partial v} = u \left( \frac{u}{(u-v)^2} \right) = \frac{u^2}{(u-v)^2}$$

अब $\Delta f$ के लिए सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

$$\Delta f = \left| \frac{-v^2}{(u-v)^2} \right| \Delta u + \left| \frac{u^2}{(u-v)^2} \right| \Delta v$$ $$\Delta f = \frac{v^2}{(u-v)^2} \Delta u + \frac{u^2}{(u-v)^2} \Delta v$$

हम जानते हैं कि $f = \frac{uv}{u-v}$, तो $u-v = \frac{uv}{f}$.

$$\Delta f = \frac{v^2}{\left(\frac{uv}{f}\right)^2} \Delta u + \frac{u^2}{\left(\frac{uv}{f}\right)^2} \Delta v$$ $$\Delta f = \frac{v^2}{\frac{u^2v^2}{f^2}} \Delta u + \frac{u^2}{\frac{u^2v^2}{f^2}} \Delta v$$ $$\Delta f = \frac{f^2}{u^2} \Delta u + \frac{f^2}{v^2} \Delta v$$

यह विकल्प (iii) से मेल खाता है।

उपरोक्त गणना के आधार पर, फोकल लंबाई में त्रुटि का व्यंजक है:

$$\Delta f = \frac{f^2}{u^2} \Delta u + \frac{f^2}{v^2} \Delta v$$

यह दिए गए विकल्पों में से विकल्प (iii) है।

The final answer is $\boxed{\text{(iii)} \frac{f^2}{u^2} \Delta u + \frac{f^2}{v^2} \Delta v}$.