The mass of the earth is 80 time that of the moon the distance from the center of the earth from that of the moon is 4.0x105km, a calculate the distance from the center of the earth where the resultant gravitation field of the earth is zero

Soit $M_E$ la masse de la Terre et $M_M$ la masse de la Lune.
On nous donne $M_E = 80 M_M$.
Soit $D$ la distance entre les centres de la Terre et de la Lune, $D = 4,0 \times 10^5 \text{ km}$.
Soit $x$ la distance du centre de la Terre au point où le champ gravitationnel résultant est nul.
La distance du centre de la Lune à ce point sera alors $D - x$.
Le champ gravitationnel $g$ dû à une masse $M$ à une distance $r$ est donné par la formule $g = \frac{GM}{r^2}$, où $G$ est la constante gravitationnelle.
Pour que le champ résultant soit nul, les magnitudes des champs gravitationnels de la Terre ($g_E$) et de la Lune ($g_M$) doivent être égales : $g_E = g_M$.

On peut annuler la constante gravitationnelle $G$ des deux côtés.

En utilisant la relation $M_E = 80 M_M$ :

On peut annuler $M_M$ des deux côtés :

Prenons la racine carrée des deux côtés (nous considérons la racine positive car $x$ est une distance) :

Nous savons que $\sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5} = 4\sqrt{5}$.

Multiplions en croix pour isoler $x$ :

Regroupons les termes avec $x$ :

Substituons la valeur de $D = 4,0 \times 10^5 \text{ km}$ :

Calculons la valeur numérique de $\frac{4\sqrt{5}}{1 + 4\sqrt{5}}$ :

Maintenant, multiplions par $D$:

En arrondissant à deux chiffres significatifs, comme la donnée $D = 4,0 \times 10^5 \text{ km}$ :

La distance du centre de la Terre où le champ gravitationnel résultant est nul est :