A satellite of mass 60kg is in orbit around the Earth. If the gravitational field strain is 4.81 of the earth surface. Calculate the period of the satellite in the orbit and the radius of the earth to be 6400km

Voici les données fournies :

• Masse du satellite, $m = 80 \text{ kg}$
• Rayon de l'orbite, $r = 5R$, où $R$ est le rayon moyen de la Terre.
• Intensité du champ de gravité à la surface de la Terre, $g = 9,81 \text{ N/kg}$
• Rayon de la Terre, $R = 6400 \text{ km} = 6\,400 \times 10^3 \text{ m} = 6,4 \times 10^6 \text{ m}$

a) Calcul de la force centripète

La force centripète nécessaire pour maintenir le satellite en orbite est fournie par la force gravitationnelle.
La force gravitationnelle est donnée par la loi de la gravitation universelle de Newton :

$$F_g = \frac{GMm}{r^2}$$

où $G$ est la constante gravitationnelle et $M$ est la masse de la Terre.

Nous savons que l'intensité du champ de gravité à la surface de la Terre est $g = \frac{GM}{R^2}$.
On peut donc exprimer $GM$ comme $GM = gR^2$.

Substituons cette expression de $GM$ dans la formule de la force gravitationnelle :

$$F_c = F_g = \frac{(gR^2)m}{r^2}$$

Étant donné que le rayon de l'orbite est $r = 5R$, nous substituons cette valeur :

$$F_c = \frac{gR^2m}{(5R)^2}$$ $$F_c = \frac{gR^2m}{25R^2}$$

Les termes $R^2$ s'annulent :

$$F_c = \frac{gm}{25}$$

Maintenant, substituons les valeurs numériques :

$$F_c = \frac{9,81 \text{ N/kg} \times 80 \text{ kg}}{25}$$ $$F_c = \frac{784,8}{25}$$ $$F_c = 31,392 \text{ N}$$

La force centripète est de $\boxed{\text{31,392 N}}$.

b) Calcul de la période du satellite en orbite

Pour un satellite en orbite circulaire, la force centripète est égale à la force gravitationnelle.
La force centripète est aussi donnée par $F_c = \frac{mv^2}{r}$, où $v$ est la vitesse orbitale du satellite.
Donc, nous avons :

$$\frac{mv^2}{r} = \frac{GMm}{r^2}$$

En simplifiant $m$ et $r$ :

$$v^2 = \frac{GM}{r}$$

La vitesse orbitale est également liée à la période $T$ par la relation $v = \frac{2\pi r}{T}$.
En élevant au carré :

$$v^2 = \frac{4\pi^2 r^2}{T^2}$$

Égalons les deux expressions de $v^2$ :

$$\frac{4\pi^2 r^2}{T^2} = \frac{GM}{r}$$

Réarrangeons pour trouver $T^2$ :

$$T^2 = \frac{4\pi^2 r^3}{GM}$$

Substituons $GM = gR^2$ et $r = 5R$ :

$$T^2 = \frac{4\pi^2 (5R)^3}{gR^2}$$ $$T^2 = \frac{4\pi^2 (125R^3)}{gR^2}$$ $$T^2 = \frac{500\pi^2 R}{g}$$

Prenons la racine carrée pour trouver $T$ :

$$T = \sqrt{\frac{500\pi^2 R}{g}}$$ $$T = \pi \sqrt{\frac{500R}{g}}$$

Maintenant, substituons les valeurs numériques :

$$T = \pi \sqrt{\frac{500 \times 6,4 \times 10^6 \text{ m}}{9,81 \text{ N/kg}}}$$ $$T = \pi \sqrt{\frac{3\,200 \times 10^6}{9,81}}$$ $$T = \pi \sqrt{326\,197\,757,39}$$ $$T = \pi \times 18\,060,9456$$ $$T \approx 56\,797,8 \text{ s}$$

La période du satellite est d'environ $\boxed{\text{56\,797,8 s}}$.