Determine the magnitude of the rate at which the frame will accelerate under the action of these forces.

Jumla ya uwezekano wote katika usambazaji wa uwezekano lazima iwe sawa na 1.

$$\sum P(X=x) = 1$$ $$K + 2.5k + 3.5k + 1.5k + 1.5k = 1$$ $$(1 + 2.5 + 3.5 + 1.5 + 1.5)k = 1$$ $$10k = 1$$ $$k = \frac{1}{10} = 0.1$$

Thamani ya $k$ ni $\boxed{0.1}$.

Idadi inayowezekana zaidi ya keki inalingana na thamani ya $X$ yenye uwezekano mkubwa zaidi $P(X=x)$.
Tutahesabu uwezekano kwa kutumia $k=0.1$:

• $P(X=10) = K = 0.1$
• $P(X=20) = 2.5k = 2.5 \times 0.1 = 0.25$
• $P(X=30) = 3.5k = 3.5 \times 0.1 = 0.35$
• $P(X=40) = 1.5k = 1.5 \times 0.1 = 0.15$
• $P(X=50) = 1.5k = 1.5 \times 0.1 = 0.15$ Uwezekano mkubwa zaidi ni 0.35, ambao unalingana na kuuza keki 30. Idadi inayowezekana zaidi ya keki zinazouzwa kwa siku ni $\boxed{30}$.

Thamani inayotarajiwa $E(X)$ inapatikana kwa fomula $E(X) = \sum x \cdot P(X=x)$.

$$E(X) = (10 \times K) + (20 \times 2.5k) + (30 \times 3.5k) + (40 \times 1.5k) + (50 \times 1.5k)$$

Badilisha $k=0.1$ na uwezekano uliopatikana:

$$E(X) = (10 \times 0.1) + (20 \times 0.25) + (30 \times 0.35) + (40 \times 0.15) + (50 \times 0.15)$$ $$E(X) = 1 + 5 + 10.5 + 6 + 7.5$$ $$E(X) = 30$$

Idadi inayotarajiwa ya keki zinazouzwa kwa siku ni $\boxed{30}$.

Kazi ya usambazaji wa jumla $F(x)$ inafafanuliwa kama $F(x) = P(X \le x)$.

• $F(10) = P(X \le 10) = P(X=10) = 0.1$
• $F(20) = P(X \le 20) = P(X=10) + P(X=20) = 0.1 + 0.25 = 0.35$
• $F(30) = P(X \le 30) = F(20) + P(X=30) = 0.35 + 0.35 = 0.70$
• $F(40) = P(X \le 40) = F(30) + P(X=40) = 0.70 + 0.15 = 0.85$
• $F(50) = P(X \le 50) = F(40) + P(X=50) = 0.85 + 0.15 = 1.00$

Kazi ya usambazaji wa jumla (CDF) kwa kigezo cha nasibu cha kipekee ni kazi ya hatua.

• Kwa $x < 10$, $F(x) = 0$.
• Kwa $10 \le x < 20$, $F(x) = 0.1$.
• Kwa $20 \le x < 30$, $F(x) = 0.35$.
• Kwa $30 \le x < 40$, $F(x) = 0.70$.
• Kwa $40 \le x < 50$, $F(x) = 0.85$.
• Kwa $x \ge 50$, $F(x) = 1.00$.

Mchoro utakuwa na mhimili wa $x$ unaowakilisha idadi ya keki ($X$) na mhimili wa $y$ unaowakilisha uwezekano wa jumla ($F(x)$). Mchoro utaanza kwa $F(x)=0$ na kuruka hadi 0.1 kwenye $x=10$, kisha kuruka hadi 0.35 kwenye $x=20$, 0.70 kwenye $x=30$, 0.85 kwenye $x=40$, na hatimaye 1.00 kwenye $x=50$, na kubaki 1.00 kwa maadili yote ya $x$ zaidi ya 50.