Mr. BILLY CONDE propose à un groupe d'élèves d'étudier les caractéristiques d'un circuit R, L, C série et le facteur de qualité de ce circuit à partir de l'exploitation d'une série d'expériences.

Voici la résolution détaillée de l'exercice.

1) EXPLOITATION DE L'EXPÉRIENCE 1

1.1. Fais le schéma du montage avec les différents branchements.
Le circuit est un circuit RLC série. Il est composé d'un générateur basse fréquence (GBF), d'un résistor R, d'un condensateur C et d'une bobine (modélisée par une inductance L en série avec une résistance interne r). Tous ces composants sont connectés en série.

1.2. Détermine:

1.2.1. La résistance R du résistor.
On utilise la loi d'Ohm pour le résistor.

$$R = \frac{U_R}{I}$$

Avec les valeurs données pour l'Expérience 1: $U_R = 3,5 \text{ V}$ et $I = 0,1 \text{ A}$.

$$R = \frac{3,5 \text{ V}}{0,1 \text{ A}} = 35 \ \Omega$$

La résistance du résistor est de $\boxed{\text{35 } \Omega}$.

1.2.2. L'impédance Z du circuit.
On utilise la loi d'Ohm pour le circuit complet.

$$Z = \frac{U}{I}$$

Avec les valeurs données pour l'Expérience 1: $U = 4,5 \text{ V}$ et $I = 0,1 \text{ A}$.

$$Z = \frac{4,5 \text{ V}}{0,1 \text{ A}} = 45 \ \Omega$$

L'impédance du circuit est de $\boxed{\text{45 } \Omega}$.

1.3. Refais le schéma du montage en indiquant le branchement de l'oscilloscope.
Pour mesurer la tension $u(t)$ aux bornes du circuit RLC (c'est-à-dire la tension délivrée par le GBF) sur la voie $Y_1$, la voie $Y_1$ est connectée à la borne d'entrée du circuit et la masse de l'oscilloscope à la borne de sortie. Pour mesurer l'intensité $i(t)$ en mesurant la tension $u_R(t)$ aux bornes du résistor R sur la voie $Y_2$, le résistor doit être placé de manière à ce que la masse de l'oscilloscope soit commune aux deux voies.
Le montage typique est: GBF $\rightarrow$ C $\rightarrow$ (L,r) $\rightarrow$ R $\rightarrow$ GBF.
La voie $Y_1$ est branchée aux bornes du GBF. La voie $Y_2$ est branchée aux bornes du résistor R, avec la masse commune de l'oscilloscope connectée à la borne du résistor qui est reliée au GBF.

2) EXPLOITATION DE L'EXPÉRIENCE 2

2.1. Donne le nom du phénomène observé.
Lorsque la tension $u(t)$ et l'intensité $i(t)$ sont en phase dans un circuit RLC série, le phénomène observé est la résonance d'intensité.

2.2. Détermine:

2.2.1. La résistance r de la bobine.
À la résonance, la fréquence est $N_0 = 159 \text{ Hz}$. La condition de résonance est $2\pi N_0 L = \frac{1}{2\pi N_0 C}$.
On utilise cette condition pour trouver la capacité C, puis l'impédance de l'Expérience 1 pour trouver r.
Données: $L = 0,1 \text{ H}$, $N_0 = 159 \text{ Hz}$.

$$C = \frac{1}{(2\pi N_0)^2 L} = \frac{1}{(2\pi \times 159 \text{ Hz})^2 \times 0,1 \text{ H}}$$ $$C = \frac{1}{(1000,88 \text{ rad/s})^2 \times 0,1 \text{ H}} \approx \frac{1}{100176} \approx 9,98 \times 10^{-6} \text{ F} = 9,98 \ \mu\text{F}$$

Pour l'Expérience 1, on a $N = 150 \text{ Hz}$, $R = 35 \Omega$, $Z = 45 \Omega$.
L'impédance $Z$ est donnée par:

$$Z^2 = (R+r)^2 + \left(2\pi N L - \frac{1}{2\pi N C}\right)^2$$

Calculons les réactances à $N = 150 \text{ Hz}$:

$$X_L = 2\pi N L = 2\pi \times 150 \text{ Hz} \times 0,1 \text{ H} = 30\pi \approx 94,25 \ \Omega$$ $$X_C = \frac{1}{2\pi N C} = \frac{1}{2\pi \times 150 \text{ Hz} \times 9,98 \times 10^{-6} \text{ F}} \approx 106,29 \ \Omega$$

Substituons les valeurs dans l'équation de l'impédance:

$$45^2 = (35+r)^2 + (94,25 - 106,29)^2$$ $$2025 = (35+r)^2 + (-12,04)^2$$ $$2025 = (35+r)^2 + 144,96$$ $$(35+r)^2 = 2025 - 144,96 = 1880,04$$ $$35+r = \sqrt{1880,04} \approx 43,36$$ $$r = 43,36 - 35 = 8,36 \ \Omega$$

La résistance interne de la bobine est de $\boxed{\text{8,36 } \Omega}$.

2.2.2. La capacité C du condensateur.
Calculée précédemment à partir de la fréquence de résonance:

$$C \approx 9,98 \times 10^{-6} \text{ F}$$

La capacité du condensateur est de $\boxed{\text{9,98 } \mu\text{F}}$.

2.2.3. L'intensité de résonance $I_0$ du courant dans le circuit.
À la résonance, l'impédance est $Z_0 = R+r$. La tension efficace est $U = 4,5 \text{ V}$.

$$I_0 = \frac{U}{R+r} = \frac{4,5 \text{ V}}{35 \Omega + 8,36 \Omega} = \frac{4,5 \text{ V}}{43,36 \Omega} \approx 0,1038 \text{ A}$$

L'intensité de résonance est de $\boxed{\text{0,104 A}}$.

2.2.4. La largeur $\Delta N$ de la bande passante.
La largeur de la bande passante est donnée par:

$$\Delta N = \frac{R+r}{2\pi L}$$

Avec $R = 35 \Omega$, $r = 8,36 \Omega$, $L = 0,1 \text{ H}$.

$$\Delta N = \frac{35 \Omega + 8,36 \Omega}{2\pi \times 0,1 \text{ H}} = \frac{43,36 \Omega}{0,2\pi \text{ H}} \approx 68,99 \text{ Hz}$$

La largeur de la bande passante est de $\boxed{\text{69,0 Hz}}$.

2.2.5. Le facteur de qualité Q du circuit.
Le facteur de qualité est donné par:

$$Q = \frac{N_0}{\Delta N}$$

Avec $N_0 = 159 \text{ Hz}$ et $\Delta N = 68,99 \text{ Hz}$.

$$Q = \frac{159 \text{ Hz}}{68,99 \text{ Hz}} \approx 2,30$$

Le facteur de qualité du circuit est de $\boxed{\text{2,30}}$.

3) EXPLOITATION DE L'EXPÉRIENCE 3

3.1. Détermine:

3.1.1. L'impédance $Z_1$ du circuit.
Pour cette expérience, on nous donne $N_1 = 100 \text{ Hz}$, $R = 35 \Omega$, $r = 10 \Omega$.
Les réactances sont données: $2\pi N_1 L = 630 \Omega$ et $\frac{1}{2\pi N_1 C} = 1590 \Omega$.
L'impédance totale $Z_1$ est donnée par:

$$Z_1 = \sqrt{(R+r)^2 + \left(2\pi N_1 L - \frac{1}{2\pi N_1 C}\right)^2}$$

Calculons la résistance totale: $R_{tot} = R+r = 35 \Omega + 10 \Omega = 45 \Omega$.
Calculons la réactance totale: $X_{tot} = 2\pi N_1 L - \frac{1}{2\pi N_1 C} = 630 \Omega - 1590 \Omega = -960 \Omega$.

$$Z_1 = \sqrt{(45 \Omega)^2 + (-960 \Omega)^2}$$ $$Z_1 = \sqrt{2025 \Omega^2 + 921600 \Omega^2}$$ $$Z_1 = \sqrt{923625 \Omega^2} \approx 961,05 \ \Omega$$

L'impédance $Z_1$ du circuit est de $\boxed{\text{961 } \Omega}$.

3.1.2. L'intensité $I_1$ du courant dans le circuit.
La tension efficace est $U = 4,5 \text{ V}$ et l'impédance $Z_1 = 961,05 \Omega$.

$$I_1 = \frac{U}{Z_1} = \frac{4,5 \text{ V}}{961,05 \Omega} \approx 0,00468 \text{ A}$$

L'intensité $I_1$ du courant est de $\boxed{\text{4,68 mA}}$.

3.2. Fais la construction de FRESNEL, en utilisant les impédances. Échelle : 1 cm $\leftrightarrow$ 10 $\Omega$.
Les vecteurs d'impédance à représenter sont:

• Le vecteur résistance $(R+r)$ de longueur $45 \Omega$, soit 4,5 cm sur l'axe horizontal.
• Le vecteur réactance inductive $X_L = 630 \Omega$, soit 63 cm sur l'axe vertical positif.
• Le vecteur réactance capacitive $X_C = 1590 \Omega$, soit 159 cm sur l'axe vertical négatif. La construction de Fresnel consiste à:

1. Tracer un vecteur horizontal de longueur 4,5 cm (représentant $R+r$) à partir de l'origine.
2. À l'extrémité de ce vecteur, tracer un vecteur vertical vers le haut de longueur 63 cm (représentant $X_L$).
3. À l'extrémité du vecteur $X_L$, tracer un vecteur vertical vers le bas de longueur 159 cm (représentant $X_C$).
4. Le vecteur résultant de l'impédance totale $Z_1$ est le vecteur reliant l'origine du premier vecteur à l'extrémité du dernier vecteur. Il forme l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés sont $(R+r)$ et $(X_L - X_C)$. Le vecteur réactance totale est $X_L - X_C = 630 \Omega - 1590 \Omega = -960 \Omega$. Ce vecteur est dirigé vers le bas et a une longueur de 96 cm à l'échelle.

3.3. Détermine:

3.3.1. La phase $\phi_{u/i}$ de la tension $u(t)$ par rapport à l'intensité $i(t)$.
La phase $\phi_{u/i}$ est donnée par:

$$\tan(\phi_{u/i}) = \frac{X_L - X_C}{R+r}$$

On a $X_L - X_C = -960 \Omega$ et $R+r = 45 \Omega$.

$$\tan(\phi_{u/i}) = \frac{-960 \Omega}{45 \Omega} = -21,33$$ $$\phi_{u/i} = \arctan(-21,33) \approx -87,3^\circ$$

La phase $\phi_{u/i}$ est de $\boxed{\text{-87,3}^\circ}$.

3.3.2. Le circuit est - il inductif ou capacitif ? Justifie ta réponse.
Puisque la phase $\phi_{u/i}$ est négative ($\phi_{u/i} < 0$), cela signifie que la tension est en retard par rapport à l'intensité. De plus, la réactance totale $X_L - X_C = -960 \Omega$ est négative.
Par conséquent, le circuit est capacitif.