Which one of the following pattern of electrostatic lines of force is not possible ?

एक अनंत लंबाई के तार, जिसका रैखिक आवेश घनत्व $\lambda$ है, के कारण $R$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E$ का परिमाण निम्न द्वारा दिया जाता है:

$$E = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 R}$$

जहाँ $\epsilon_0$ निर्वात की परावैद्युतांक है।
हम जानते हैं कि कूलम्ब स्थिरांक $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ है, इसलिए $2\pi\epsilon_0 = \frac{1}{2k}$।
इस मान को $E$ के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

$$E = \frac{\lambda}{(1/2k)R} = \frac{2k\lambda}{R}$$

पहले तार का रैखिक आवेश घनत्व $\lambda_1$ है। यह दूसरे तार की स्थिति पर $R$ दूरी पर एक विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करता है:

$$E_1 = \frac{2k\lambda_1}{R}$$

दूसरे तार का रैखिक आवेश घनत्व $\lambda_2$ है। यदि दूसरे तार की एक छोटी लंबाई $dl$ पर आवेश $dQ_2 = \lambda_2 dl$ है, तो इस पर लगने वाला बल $dF$ होगा:

$$dF = E_1 dQ_2 = E_1 (\lambda_2 dl)$$

$E_1$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:

$$dF = \left(\frac{2k\lambda_1}{R}\right) (\lambda_2 dl)$$

प्रति इकाई लंबाई बल $\frac{dF}{dl}$ होगा:

$$\frac{dF}{dl} = \frac{2k\lambda_1\lambda_2}{R}$$

यह परिणाम विकल्प (2) से मेल खाता है।

अतः, सही विकल्प है:
(2) $\boxed{\frac{k2\lambda_1\lambda_2}{R}}$