दो समानान्तर बलों P और Q का परिनामी बिन्दु O से गुज़रता है। जब P और Q में क्रमशः R और S की वृद्धि की जाती है, इसी प्रकार जब P और Q को क्रमशः O और R से बदल दिया जाता है, तब भी परिणामी O से गुज़रता है। बल S बराबर है-

माना दो समादिश समान्तर बल $P$ और $Q$ क्रमशः बिंदु $A$ और $B$ पर कार्य कर रहे हैं। उनका परिणामी बिंदु $O$ से गुजरता है।
माना $AO = a$ और $BO = b$।
आघूर्णों के सिद्धांत के अनुसार, परिणामी के बिंदु $O$ से गुजरने के लिए, $O$ के सापेक्ष बलों के आघूर्ण बराबर होने चाहिए:

$$P \cdot a = Q \cdot b \quad \text{(समीकरण 1)}$$

इससे हमें $\frac{a}{b}$ का अनुपात मिलता है:

$$\frac{a}{b} = \frac{Q}{P}$$

प्रश्न के अनुसार, जब बल $P$ को $Q$ से और बल $Q$ को $R$ से बदल दिया जाता है, तब भी परिणामी बिंदु $O$ से गुजरता है।
तो, नए बल $Q$ और $R$ हैं।

$$Q \cdot a = R \cdot b \quad \text{(समीकरण 2)}$$

इससे हमें $\frac{a}{b}$ का एक और अनुपात मिलता है:

$$\frac{a}{b} = \frac{R}{Q}$$

समीकरण 1 और समीकरण 2 से प्राप्त $\frac{a}{b}$ के अनुपातों को बराबर करने पर:

$$\frac{Q}{P} = \frac{R}{Q}$$ $$Q^2 = PR \quad \text{(संबंध A)}$$

प्रश्न के अनुसार, जब बल $P$ में $R$ की वृद्धि की जाती है (अर्थात नया बल $P+R$ है) और बल $Q$ में $S$ की वृद्धि की जाती है (अर्थात नया बल $Q+S$ है), तब भी परिणामी बिंदु $O$ से गुजरता है।
तो, नए बल $(P+R)$ और $(Q+S)$ हैं।

$$(P+R) \cdot a = (Q+S) \cdot b \quad \text{(समीकरण 3)}$$

समीकरण 3 को $b$ से विभाजित करने पर:

$$(P+R) \frac{a}{b} = Q+S$$

अब, $\frac{a}{b} = \frac{Q}{P}$ (जो हमने स्टेप 1 में प्राप्त किया था) को प्रतिस्थापित करें:

$$(P+R) \frac{Q}{P} = Q+S$$ $$Q + \frac{RQ}{P} = Q+S$$ $$\frac{RQ}{P} = S$$ $$RQ = PS \quad \text{(संबंध B)}$$

हमारे पास दो संबंध हैं:

1. $Q^2 = PR$
2. $RQ = PS$ संबंध A से, हम $R$ को $P$ और $Q$ के पदों में व्यक्त कर सकते हैं:

$$R = \frac{Q^2}{P}$$

इस $R$ के मान को संबंध B में प्रतिस्थापित करें:

$$\left(\frac{Q^2}{P}\right) Q = PS$$ $$\frac{Q^3}{P} = PS$$

$S$ के लिए हल करने पर:

$$S = \frac{Q^3}{P^2}$$

यह दिए गए विकल्पों में से विकल्प (2) से मेल खाता है।

The final answer is $\text{(2) } \frac{Q^3}{P^2}$.