यहाँ आपके प्रश्नों के हल दिए गए हैं:

यहाँ आपके प्रश्नों के हल दिए गए हैं:

प्रश्न 6: कोई सदिश $\vec{A} = A \cos\theta \hat{i} + A \sin\theta \hat{j}$ है। दूसरा सदिश $\vec{B}$ जो कि $\vec{A}$ के लम्बवत् है, होगा -

Step 1: दो सदिश लम्बवत् होते हैं यदि उनका अदिश गुणनफल (dot product) शून्य हो। माना $\vec{A} = A \cos\theta \hat{i} + A \sin\theta \hat{j}$। हमें एक सदिश $\vec{B}$ ज्ञात करना है जिसके लिए $\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$ हो।

Step 2: दिए गए विकल्पों में से प्रत्येक के लिए अदिश गुणनफल की गणना करें।

• विकल्प (1): $\vec{B} = B \cos\theta \hat{i} + B \sin\theta \hat{j}$ $\vec{A} \cdot \vec{B} = (A \cos\theta)(B \cos\theta) + (A \sin\theta)(B \sin\theta) = AB(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = AB \neq 0$
• विकल्प (2): $\vec{B} = B \sin\theta \hat{i} + B \cos\theta \hat{j}$ $\vec{A} \cdot \vec{B} = (A \cos\theta)(B \sin\theta) + (A \sin\theta)(B \cos\theta) = AB(\cos\theta \sin\theta + \sin\theta \cos\theta) = 2AB \sin\theta \cos\theta \neq 0$
• विकल्प (3): $\vec{B} = B \sin\theta \hat{i} - B \cos\theta \hat{j}$ $\vec{A} \cdot \vec{B} = (A \cos\theta)(B \sin\theta) + (A \sin\theta)(-B \cos\theta) = AB \cos\theta \sin\theta - AB \sin\theta \cos\theta = 0$
• विकल्प (4): $\vec{B} = B \cos\theta \hat{i} - B \sin\theta \hat{j}$ $\vec{A} \cdot \vec{B} = (A \cos\theta)(B \cos\theta) + (A \sin\theta)(-B \sin\theta) = AB(\cos^2\theta - \sin^2\theta) = AB \cos(2\theta) \neq 0$

Step 3: विकल्प (3) के लिए अदिश गुणनफल शून्य है, इसलिए यह सदिश $\vec{A}$ के लम्बवत् है।

The final answer is $\boxed{(3) B \sin\theta \hat{i} - B \cos\theta \hat{j}}$.

प्रश्न 7: दो सदिश $(6\hat{i} + 6\hat{j} - 3\hat{k})$ तथा $(7\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k})$ के मध्य कोण होगा -

Step 1: दो सदिशों $\vec{P}$ और $\vec{Q}$ के बीच का कोण $\phi$ सूत्र $\cos\phi = \frac{\vec{P} \cdot \vec{Q}}{|\vec{P}| |\vec{Q}|}$ द्वारा दिया जाता है। माना $\vec{P} = 6\hat{i} + 6\hat{j} - 3\hat{k}$ और $\vec{Q} = 7\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}$।

Step 2: अदिश गुणनफल $\vec{P} \cdot \vec{Q}$ की गणना करें। $\vec{P} \cdot \vec{Q} = (6)(7) + (6)(4) + (-3)(4) = 42 + 24 - 12 = 54$

Step 3: सदिशों के परिमाण $|\vec{P}|$ और $|\vec{Q}|$ की गणना करें। $|\vec{P}| = \sqrt{6^2 + 6^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 36 + 9} = \sqrt{81} = 9$ $|\vec{Q}| = \sqrt{7^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{49 + 16 + 16} = \sqrt{81} = 9$

Step 4: $\cos\phi$ का मान ज्ञात करें। $\cos\phi = \frac{54}{9 \times 9} = \frac{54}{81} = \frac{2}{3}$

Step 5: $\phi$ का मान ज्ञात करें। $\phi = \cos^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)$ हम जानते हैं कि $\sin^2\phi + \cos^2\phi = 1$। $\sin\phi = \sqrt{1 - \cos^2\phi} = \sqrt{1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{9-4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$ इसलिए, $\phi = \sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)$।

The final answer is $\boxed{(4) \sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)}$.

प्रश्न 8: यदि सदिश $\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j}$ सदिश $(\hat{i} + \hat{j})$ के लम्बवत् है तो $a$ तथा $b$ का मान हो सकता है -

Step 1: दो सदिश लम्बवत् होते हैं यदि उनका अदिश गुणनफल शून्य हो। माना $\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j}$ और $\vec{m} = \hat{i} + \hat{j}$। लम्बवत् होने के लिए, $\vec{n} \cdot \vec{m} = 0$ होना चाहिए।

Step 2: अदिश गुणनफल की गणना करें और समीकरण स्थापित करें। $(a\hat{i} + b\hat{j}) \cdot (\hat{i} + \hat{j}) = 0$ $a(1) + b(1) = 0$ $a + b = 0$ इसका अर्थ है $a = -b$।

Step 3: दिए गए विकल्पों में से उस विकल्प का चयन करें जो $a = -b$ शर्त को पूरा करता है।

• विकल्प (1): $a=1, b=0 \implies 1+0 = 1 \neq 0$
• विकल्प (2): $a=-2, b=0 \implies -2+0 = -2 \neq 0$
• विकल्प (3): $a=1, b=1 \implies 1+1 = 2 \neq 0$
• विकल्प (4): $a=1, b=-1 \implies 1+(-1) = 0$

Step 4: विकल्प (4) शर्त $a+b=0$ को पूरा करता है।

The final answer is $\boxed{(4) 1, -1}$.