यहाँ आपके प्रश्नों के हल दिए गए हैं:

माना $\vec{A} = A \cos\theta \hat{i} + A \sin\theta \hat{j}$।
हमें एक सदिश $\vec{B}$ ज्ञात करना है जिसके लिए $\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$ हो।

• विकल्प (1): $\vec{B} = B \cos\theta \hat{i} + B \sin\theta \hat{j}$ $\vec{A} \cdot \vec{B} = (A \cos\theta)(B \cos\theta) + (A \sin\theta)(B \sin\theta) = AB(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = AB \neq 0$
• विकल्प (2): $\vec{B} = B \sin\theta \hat{i} + B \cos\theta \hat{j}$ $\vec{A} \cdot \vec{B} = (A \cos\theta)(B \sin\theta) + (A \sin\theta)(B \cos\theta) = AB(\cos\theta \sin\theta + \sin\theta \cos\theta) = 2AB \sin\theta \cos\theta \neq 0$
• विकल्प (3): $\vec{B} = B \sin\theta \hat{i} - B \cos\theta \hat{j}$ $\vec{A} \cdot \vec{B} = (A \cos\theta)(B \sin\theta) + (A \sin\theta)(-B \cos\theta) = AB \cos\theta \sin\theta - AB \sin\theta \cos\theta = 0$
• विकल्प (4): $\vec{B} = B \cos\theta \hat{i} - B \sin\theta \hat{j}$ $\vec{A} \cdot \vec{B} = (A \cos\theta)(B \cos\theta) + (A \sin\theta)(-B \sin\theta) = AB(\cos^2\theta - \sin^2\theta) = AB \cos(2\theta) \neq 0$

The final answer is $\boxed{\text{(3) } B \sin\theta \hat{i} - B \cos\theta \hat{j}}$.

प्रश्न 7:
दो सदिश $(6\hat{i} + 6\hat{j} - 3\hat{k})$ तथा $(7\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k})$ के मध्य कोण होगा -

माना $\vec{P} = 6\hat{i} + 6\hat{j} - 3\hat{k}$ और $\vec{Q} = 7\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}$।

हम जानते हैं कि $\sin^2\phi + \cos^2\phi = 1$।

इसलिए, $\phi = \sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)$।

The final answer is $\boxed{\text{(4) } \sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)}$.

प्रश्न 8:
यदि सदिश $\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j}$ सदिश $(\hat{i} + \hat{j})$ के लम्बवत् है तो $a$ तथा $b$ का मान हो सकता है -

माना $\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j}$ और $\vec{m} = \hat{i} + \hat{j}$।
लम्बवत् होने के लिए, $\vec{n} \cdot \vec{m} = 0$ होना चाहिए।

इसका अर्थ है $a = -b$।

• विकल्प (1): $a=1, b=0 \implies 1+0 = 1 \neq 0$
• विकल्प (2): $a=-2, b=0 \implies -2+0 = -2 \neq 0$
• विकल्प (3): $a=1, b=1 \implies 1+1 = 2 \neq 0$
• विकल्प (4): $a=1, b=-1 \implies 1+(-1) = 0$

The final answer is $\boxed{\text{(4) } 1, -1}$.