यहाँ दिए गए प्रश्नों के हल हैं:

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Section A

6. निम्नलिखित में से कौन सी एक त्रिभुजाकार संख्या (triangular number) है?

• Step 1: त्रिभुजाकार संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जो $1$ से शुरू होने वाली लगातार प्राकृतिक संख्याओं का योग होती हैं।

  • $1 = 1$
  • $1+2 = 3$
  • $1+2+3 = 6$
  • $1+2+3+4 = 10$
  • $1+2+3+4+5 = 15$

• Step 2: विकल्पों की जाँच करें। विकल्प (a) $15$ एक त्रिभुजाकार संख्या है।

• उत्तर: (a) $\boxed{15}$

7. $4,000$ से $6,000$ तक की संख्या रेखा पर, संख्याएँ $4,450; 5,100;$ और $5,750$ अंकित हैं। इनमें से कौन सी संख्या संख्या रेखा के मध्यबिंदु के सबसे करीब है?

• Step 1: संख्या रेखा के मध्यबिंदु की गणना करें। मध्यबिंदु $= \frac{4000 + 6000}{2} = \frac{10000}{2} = 5000$

• Step 2: प्रत्येक दी गई संख्या और मध्यबिंदु ($5000$) के बीच का अंतर ज्ञात करें।

  • $|5000 - 4450| = 550$
  • $|5000 - 5100| = 100$
  • $|5000 - 5750| = 750$

• Step 3: सबसे कम अंतर वाली संख्या की पहचान करें। सबसे कम अंतर $100$ है, जो $5,100$ से संबंधित है।

• उत्तर: (b) $\boxed{5,100}$

8. निम्नलिखित में से कौन सी तिथि पैलिंड्रोमिक तिथि (Palindromic date) का पालन नहीं करती है?

• Step 1: प्रत्येक विकल्प को DDMMYYYY प्रारूप में जाँचें कि क्या यह आगे और पीछे से पढ़ने पर समान है।

  • (a) $12-02-2021 \rightarrow 12022021$ (पैलिंड्रोम है)
  • (b) $13-02-2021 \rightarrow 13022021$ (पीछे से $12023021$ है, पैलिंड्रोम नहीं है)
  • (c) $21-02-2012 \rightarrow 21022012$ (पैलिंड्रोम है)
  • (d) $11-02-2011 \rightarrow 11022011$ (पैलिंड्रोम है)

• Step 2: विकल्प (b) पैलिंड्रोमिक तिथि नहीं है।

• उत्तर: (b) $\boxed{13-02-2021}$

9. अभिकथन (A): अनुक्रम $3, 9, 18, 30, 45, \dots$ में अगली संख्या $64$ है। कारण (R): लगातार पदों के बीच का अंतर $3$ से बढ़ता है।

• Step 1: अनुक्रम में लगातार पदों के बीच का अंतर ज्ञात करें।

  • $9 - 3 = 6$
  • $18 - 9 = 9$
  • $30 - 18 = 12$
  • $45 - 30 = 15$

• Step 2: इन अंतरों ($6, 9, 12, 15$) का निरीक्षण करें। अंतर $3$ से बढ़ रहे हैं ($9-6=3, 12-9=3, 15-12=3$)। अतः, कारण (R) सत्य है।

• Step 3: अनुक्रम में अगली संख्या ज्ञात करें। अगला अंतर $15 + 3 = 18$ होना चाहिए। तो, अगली संख्या $45 + 18 = 63$ है।

• Step 4: अभिकथन (A) कहता है कि अगली संख्या $64$ है, जो हमारे गणना किए गए मान $63$ से भिन्न है। अतः, अभिकथन (A) असत्य है।

• उत्तर: (d) $\boxed{अभिकथन (A) असत्य है, लेकिन कारण (R) सत्य है।}$

10. अभिकथन (A): $69^\circ$ मापने वाला कोण एक न्यून कोण है। कारण (R): एक न्यून कोण $90^\circ$ से बड़ा लेकिन $180^\circ$ से छोटा होता है।

• Step 1: अभिकथन (A) का मूल्यांकन करें। एक न्यून कोण $90^\circ$ से कम होता है। चूँकि $69^\circ < 90^\circ$, यह एक न्यून कोण है। अतः, अभिकथन (A) सत्य है।

• Step 2: कारण (R) का मूल्यांकन करें। कारण (R) न्यून कोण को $90^\circ$ से बड़ा और $180^\circ$ से छोटा बताता है, जो कि अधिक कोण की परिभाषा है। न्यून कोण $90^\circ$ से छोटा होता है। अतः, कारण (R) असत्य है।

• उत्तर: (c) $\boxed{अभिकथन (A) सत्य है, लेकिन कारण (R) असत्य है।}$

Section B

11. प्रत्येक संख्या को निकटतम सौ तक पूर्णांकित करके $492$ और $786$ के योग का अनुमान लगाएँ।

• Step 1: $492$ को निकटतम सौ तक पूर्णांकित करें। दहाई का अंक $9$ है, इसलिए इसे ऊपर की ओर पूर्णांकित किया जाएगा। $492 \approx 500$

• Step 2: $786$ को निकटतम सौ तक पूर्णांकित करें। दहाई का अंक $8$ है, इसलिए इसे ऊपर की ओर पूर्णांकित किया जाएगा। $786 \approx 800$

• Step 3: पूर्णांकित संख्याओं को जोड़ें। $500 + 800 = 1300$

• उत्तर: $\boxed{1300}$

12. $3$ की घातों के योग के निम्नलिखित अनुक्रम पर विचार करें: $1, 1+3, 1+3+9, 1+3+9+27,$ a) इस अनुक्रम के पहले चार पद लिखें। b) इनमें से प्रत्येक संख्या में $1$ जोड़ें। आपको कौन सी नई संख्याएँ मिलती हैं?

• Step 1 (a): अनुक्रम के पहले चार पद ज्ञात करें।

  • पहला पद: $1 = 1$
  • दूसरा पद: $1+3 = 4$
  • तीसरा पद: $1+3+9 = 13$
  • चौथा पद: $1+3+9+27 = 40$

• Step 2 (b): इन संख्याओं में $1$ जोड़ें।

  • $1+1 = 2$
  • $4+1 = 5$
  • $13+1 = 14$
  • $40+1 = 41$

• उत्तर:

  • a) पहले चार पद: $\boxed{1, 4, 13, 40}$
  • b) $1$ जोड़ने पर प्राप्त नई संख्याएँ: $\boxed{2, 5, 14, 41}$

13. निम्नलिखित कोणों के प्रकार पहचानें: a) $180^\circ$ b) $92^\circ$

• Step 1 (a): $180^\circ$ का कोण एक सरल कोण (straight angle) कहलाता है।

• Step 2 (b): $92^\circ$ का कोण $90^\circ$ से बड़ा और $180^\circ$ से छोटा है, इसलिए यह एक अधिक कोण (obtuse angle) है।

• उत्तर:

  • a) $180^\circ$: $\boxed{सरल कोण (Straight angle)}$
  • b) $92^\circ$: $\boxed{अधिक कोण (Obtuse angle)}$

अथवा (OR) नीचे दिए गए चित्र में कोई भी चार रेखाखंडों के नाम लिखें: (चित्र में बिंदु S, R, Q, T, P दिखाए गए हैं)

• Step 1: चित्र में बिंदुओं को देखें और किन्हीं चार रेखाखंडों की पहचान करें। रेखाखंड दो बिंदुओं को जोड़ने वाला एक सीधा पथ होता है।

• उत्तर: $\boxed{\overline{SR}, \overline{RQ}, \overline{QT}, \overline{TP}}$ (अन्य संभावित रेखाखंड: $\overline{PS}, \overline{SQ}, \overline{RT}, \overline{SP}, \overline{RP}, \overline{ST}$)

Section C

14. पंचकोणीय संख्याओं के निम्नलिखित अनुक्रम पर विचार करें: $1, 5, 12, 22, \dots$ a) अनुक्रम में अगली संख्या क्या है? चरण दिखाएँ। b) इस अनुक्रम में छठी संख्या ज्ञात करें।

• Step 1: अनुक्रम में लगातार पदों के बीच का अंतर ज्ञात करें।

  • $5 - 1 = 4$
  • $12 - 5 = 7$
  • $22 - 12 = 10$

• Step 2: अंतरों ($4, 7, 10$) का निरीक्षण करें। ये अंतर $3$ से बढ़ रहे हैं ($7-4=3, 10-7=3$)।

• Step 3 (a): अगली संख्या ज्ञात करें। अगला अंतर $10 + 3 = 13$ होना चाहिए। तो, अनुक्रम में अगली संख्या $22 + 13 = 35$ है।

• Step 4 (b): छठी संख्या ज्ञात करें। अनुक्रम के पद हैं: $P_1=1, P_2=5, P_3=12, P_4=22, P_5=35$ (पिछली गणना से)। अगला अंतर $13 + 3 = 16$ होना चाहिए। तो, छठी संख्या $P_6 = P_5 + 16 = 35 + 16 = 51$ है।

• उत्तर:

  • a) अगली संख्या: $\boxed{35}$
  • b) छठी संख्या: $\boxed{51}$

अथवा (OR) निर्दिष्ट अनुसार एक पैटर्न बनाएँ: $1$ से शुरू होने वाली तीन लगातार प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल।

• Step 1: $1$ से शुरू होने वाली तीन लगातार प्राकृतिक संख्याओं के गुणनफल की गणना करें।

  • $1 \times 2 \times 3 = 6$
  • $2 \times 3 \times 4 = 24$
  • $3 \times 4 \times 5 = 60$
  • $4 \times 5 \times 6 = 120$

• उत्तर: $\boxed{6, 24, 60, 120, \dots}$

15. हल करें: a) $700; 400; 150; 50$ का उपयोग करके $+$ और $-$ के साथ $1,000$ बनाएँ। b) $1,500; 600; 200$ का उपयोग करके $+$ और $-$ के साथ $1,900$ बनाएँ।

• Step 1 (a): $700, 400, 150, 50$ का उपयोग करके $1,000$ बनाएँ। $700 + 400 - 150 + 50 = 1100 - 150 + 50 = 950 + 50 = 1000$

• Step 2 (b): $1,500, 600, 200$ का उपयोग करके $1,900$ बनाएँ। $1500 + 600 - 200 = 2100 - 200 = 1900$

• उत्तर:

  • a) $\boxed{700 + 400 - 150 + 50 = 1000}$
  • b) $\boxed{1500 + 600 - 200 = 1900}$

Section D

16. $21$ से शुरू करके कोलात्ज़ अनुमान (Collatz Conjecture) को लागू करके अनुक्रम उत्पन्न करें। अनुक्रम को $1$ तक पहुँचने में कितने चरण लगते हैं? क्या आप संख्याओं के अनुक्रम में कोई पैटर्न पहचान सकते हैं?

• Step 1: कोलात्ज़ अनुमान के नियमों को $21$ से शुरू करके लागू करें:

  • यदि संख्या सम है, तो उसे $2$ से विभाजित करें।
  • यदि संख्या विषम है, तो उसे $3$ से गुणा करें और $1$ जोड़ें।
  1. $21$ (विषम) $\rightarrow 3 \times 21 + 1 = 64$
  2. $64$ (सम) $\rightarrow 64 / 2 = 32$
  3. $32$ (सम) $\rightarrow 32 / 2 = 16$
  4. $16$ (सम) $\rightarrow 16 / 2 = 8$
  5. $8$ (सम) $\rightarrow 8 / 2 = 4$
  6. $4$ (सम) $\rightarrow 4 / 2 = 2$
  7. $2$ (सम) $\rightarrow 2 / 2 = 1$

• Step 2: $1$ तक पहुँचने में लगे चरणों की संख्या गिनें। $1$ तक पहुँचने में $\boxed{7}$ चरण लगे।

• Step 3: अनुक्रम में पैटर्न पहचानें। पहले चरण के बाद ($21$ से $64$), अनुक्रम लगातार $2$ से विभाजित होने की एक श्रृंखला में प्रवेश करता है ($64, 32, 16, 8, 4, 2, 1$)। यह एक सामान्य पैटर्न है जब संख्या $2$ की घात बन जाती है।

• उत्तर:

  • अनुक्रम: $\boxed{21, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1}$
  • चरणों की संख्या: $\boxed{7}$
  • पैटर्न: $\boxed{पहले चरण के बाद, अनुक्रम 2 की घातों की एक श्रृंखला में प्रवेश करता है, जहाँ प्रत्येक संख्या को 2 से विभाजित किया जाता है।}$

17. एक प्रोट्रैक्टर और रूलर का उपयोग करके, निम्नलिखित में से प्रत्येक कोण को बनाएँ और वर्गीकृत करें। a) $\angle RST = 37^\circ$ b) $\angle XYZ = 155^\circ$

• Step 1 (a): $\angle RST = 37^\circ$
  • बनाना: एक रूलर का उपयोग करके एक किरण $\vec{ST}$ खींचें। प्रोट्रैक्टर के केंद्र को बिंदु $S$ पर रखें और $0^\circ$ के निशान को किरण $\vec{ST}$ के साथ संरेखित करें। $37^\circ$ के निशान पर एक बिंदु अंकित करें और बिंदु $S$ से इस बिंदु तक एक और किरण $\vec{SR}$ खींचें।
  • वर्गीकरण: $37^\circ$ एक $\boxed{न्यून कोण (Acute angle)}$ है क्योंकि यह $0^\circ$ से बड़ा और $90^\circ$ से छोटा है।
• Step 2 (b): $\angle XYZ = 155^\circ$
  • बनाना: एक रूलर का उपयोग करके एक किरण $\vec{YZ}$ खींचें। प्रोट्रैक्टर के केंद्र को बिंदु $Y$ पर रखें और $0^\circ$ के निशान को किरण $\vec{YZ}$ के साथ संरेखित करें। $155^\circ$ के निशान पर एक बिंदु अंकित करें और बिंदु $Y$ से इस बिंदु तक एक और किरण $\vec{YX}$ खींचें।
  • वर्गीकरण: $155^\circ$ एक $\boxed{अधिक कोण (Obtuse angle)}$ है क्योंकि यह $90^\circ$ से बड़ा और $180^\circ$ से छोटा है।

अथवा (OR) निम्नलिखित कोणों को बनाएँ और प्रत्येक का माप लिखें। a) एक समकोण b) प्रतिवर्ती कोण

• Step 1 (a): एक समकोण
  • बनाना: एक रूलर का उपयोग करके एक किरण खींचें। प्रोट्रैक्टर के केंद्र को किरण के अंत बिंदु पर रखें और $0^\circ$ के निशान को किरण के साथ संरेखित करें। $90^\circ$ के निशान पर एक बिंदु अंकित करें और अंत बिंदु से इस बिंदु तक एक और किरण खींचें।
  • माप: एक समकोण का माप $\boxed{90^\circ}$ होता है।
• Step 2 (b): प्रतिवर्ती कोण
  • बनाना: एक रूलर का उपयोग करके एक किरण खींचें। प्रोट्रैक्टर के केंद्र को किरण के अंत बिंदु पर रखें और $0^\circ$ के निशान को किरण के साथ संरेखित करें। $180^\circ$ और $360^\circ$ के बीच किसी भी माप (उदाहरण के लिए $240^\circ$) पर एक बिंदु अंकित करें और अंत बिंदु से इस बिंदु तक एक और किरण खींचें। बाहरी कोण को चिह्नित करें।
  • माप: एक प्रतिवर्ती कोण का माप $\boxed{180^\circ से अधिक और 360^\circ से कम}$ होता है।

Section E

18. एक प्रसिद्ध चॉकलेट फैक्ट्री अपने उपहार बक्सों के अंदर विशेष तीन अंकों के कोड छापती है। ये कोड ग्राहकों को रोमांचक पुरस्कार प्रदान करते हैं। मानसिक गणित कौशल को बढ़ावा देने के लिए, कंपनी ने एक सरल नियम पेश किया है: यदि किसी कोड के अंकों का योग $18$ है, तो ग्राहक को एक विशेष चॉकलेट हैम्पर मिलता है। एक उत्सव की बिक्री के दौरान, विभिन्न बक्सों के अंदर निम्नलिखित कोड पाए गए: $753, 990, 645$

i) निम्नलिखित में से कौन सा कोड चॉकलेट हैम्पर जीतता है: $753$ या $990$? ii) एक तीन अंकों का कोड बनाएँ जो चॉकलेट हैम्पर जीतेगा। iii) निर्धारित करें कि कोड $645$ एक पुरस्कार जीतता है या नहीं। अपनी गणना दिखाएँ।

• Step 1 (i): कोड $753$ और $990$ के अंकों का योग ज्ञात करें।

  • कोड $753$: अंकों का योग $= 7 + 5 + 3 = 15$
  • कोड $990$: अंकों का योग $= 9 + 9 + 0 = 18$ चूँकि $990$ के अंकों का योग $18$ है, यह चॉकलेट हैम्पर जीतता है।

• Step 2 (ii): एक तीन अंकों का कोड बनाएँ जिसके अंकों का योग $18$ हो। उदाहरण के लिए, $6+6+6=18$ या $9+8+1=18$

• Step 3 (iii): कोड $645$ के अंकों का योग ज्ञात करें। कोड $645$: अंकों का योग $= 6 + 4 + 5 = 15$ चूँकि $15 \neq 18$, कोड $645$ एक पुरस्कार नहीं जीतता है।

• उत्तर:

  • i) $\boxed{990}$
  • ii) $\boxed{666}$ (या कोई अन्य तीन अंकों का कोड जिसके अंकों का योग $18$ हो, जैसे $981, 783$)
  • iii) $\boxed{नहीं, कोड 645 एक पुरस्कार नहीं जीतता है क्योंकि इसके अंकों का योग 6+4+5=15 है, जो 18 नहीं है।}$

अथवा (OR) प्रीति को अपने चॉकलेट बॉक्स में कोड $909$ मिलता है। क्या वह हैम्पर जीतती है? अपने उत्तर का औचित्य सिद्ध करें।

• Step 1: कोड $909$ के अंकों का योग ज्ञात करें। अंकों का योग $= 9 + 0 + 9 = 18$

• Step 2: नियम की तुलना करें। चूँकि अंकों का योग $18$ है, प्रीति हैम्पर जीतती है।

• उत्तर: $\boxed{हाँ, प्रीति हैम्पर जीतती है क्योंकि कोड 909 के अंकों का योग 9+0+9=18 है, जो जीतने की शर्त से मेल खाता है।}$