حساب ردود الأفعال

لحساب القوى في الأعضاء المحددة في الجمالون الموضح، سنستخدم طريقة المفاصل (Method of Joints) بعد حساب ردود الأفعال.

Step 1: حساب ردود الأفعال

• الدعامات:

  • النقطة 1: دعم مفصلي (Pin support)، له رد فعل أفقي ($R_{1x}$) ورد فعل رأسي ($R_{1y}$).
  • النقطة 4: دعم بكرة (Roller support)، له رد فعل رأسي فقط ($R_{4y}$).

• الأحمال:

  • $P_1 = 5 \text{ t}$ (أفقي لليسار) عند النقطة 8.
  • $P_2 = 10 \text{ t}$ (رأسي لأسفل) عند النقطة 7.
  • $P_3 = 10 \text{ t}$ (رأسي لأسفل) عند النقطة 6.
  • $P_4 = 8 \text{ t}$ (رأسي لأسفل) عند النقطة 5.

• الأبعاد:

  • المسافة الأفقية بين كل نقطتين سفلية متجاورتين هي $4 \text{ m}$. الطول الكلي للجمالون $3 \times 4 = 12 \text{ m}$.
  • ارتفاع الجمالون هو $3 \text{ m}$.
  • طول الأعضاء القطرية (مثل 1-8، 2-7، 3-6، 4-5) هو $\sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5 \text{ m}$.
  • زاوية ميل الأعضاء القطرية مع الأفقي: $\cos \theta = \frac{4}{5} = 0.8$, $\sin \theta = \frac{3}{5} = 0.6$.

• حساب $R_{1x}$ (رد الفعل الأفقي عند 1): نطبق معادلة الاتزان للقوى الأفقية ($\sum F_x = 0$). بافتراض $R_{1x}$ لليمين: $R_{1x} - 5 t = 0$ $R_{1x} = 5 \text{ t (لليمين)}$

• حساب $R_{4y}$ (رد الفعل الرأسي عند 4): نأخذ مجموع العزوم حول النقطة 1 ($\sum M_1 = 0$). بافتراض عكس اتجاه عقارب الساعة موجبًا: $-(5 t \times 3 m) - (10 t \times 4 m) - (10 t \times 8 m) - (8 t \times 12 m) + (R_{4y} \times 12 m) = 0$ $-15 - 40 - 80 - 96 + 12 R_{4y} = 0$ $-231 + 12 R_{4y} = 0$ $12 R_{4y} = 231$ $R_{4y} = \frac{231}{12} = 19.25 \text{ t (للأعلى)}$

• حساب $R_{1y}$ (رد الفعل الرأسي عند 1): نطبق معادلة الاتزان للقوى الرأسية ($\sum F_y = 0$). بافتراض القوى للأعلى موجبة: $R_{1y} + R_{4y} - 10 t - 10 t - 8 t = 0$ $R_{1y} + 19.25 - 28 = 0$ $R_{1y} = 28 - 19.25$ $R_{1y} = 8.75 \text{ t (للأعلى)}$

Step 2: حساب القوى في الأعضاء المحددة (باستخدام طريقة المفاصل)

الأعضاء المحددة هي:

• عضو 1: (1-2)
• عضو 2: (2-3)
• عضو 3: (3-4)
• عضو 4: (3-5)
• عضو 5: (4-5)
• عضو 6: (5-6)
• عضو 7: (6-7)
• عضو 8: (7-8)

سنفترض أن قوى الشد موجبة وقوى الضغط سالبة.

• المفصل 1: (يتصل بالعضو 1-2 والعضو 1-8)

  • $\sum F_y = 0$: $R_{1y} + F_{1-8} \sin \theta = 0$ $8.75 + F_{1-8} (0.6) = 0 \implies F_{1-8} = -8.75 / 0.6 = -14.583 \text{ t}$ (ضغط)
  • $\sum F_x = 0$: $R_{1x} + F_{1-2} + F_{1-8} \cos \theta = 0$ $5 + F_{1-2} + (-14.583)(0.8) = 0 \implies 5 + F_{1-2} - 11.666 = 0 \implies F_{1-2} = 6.666 \text{ t}$ (شد) العضو 1 ($F_{1-2}$) = $\boxed{6.67 t (شد)}$

• المفصل 4: (يتصل بالعضو 3-4 والعضو 4-5)

  • $\sum F_y = 0$: $R_{4y} + F_{4-5} \sin \theta = 0$ $19.25 + F_{4-5} (0.6) = 0 \implies F_{4-5} = -19.25 / 0.6 = -32.083 \text{ t}$ (ضغط) العضو 5 ($F_{4-5}$) = $\boxed{32.08 t (ضغط)}$
  • $\sum F_x = 0$: $F_{3-4} + F_{4-5} \cos \theta = 0$ $F_{3-4} + (-32.083)(0.8) = 0 \implies F_{3-4} - 25.666 = 0 \implies F_{3-4} = 25.666 \text{ t}$ (شد) العضو 3 ($F_{3-4}$) = $\boxed{25.67 t (شد)}$

• المفصل 8: (يتصل بالعضو 1-8 والعضو 8-7 والعضو 8-2)

  • $\sum F_y = 0$: $F_{8-2} + F_{1-8} \sin \theta = 0$ $F_{8-2} + (-14.583)(0.6) = 0 \implies F_{8-2} - 8.75 = 0 \implies F_{8-2} = 8.75 \text{ t}$ (شد)
  • $\sum F_x = 0$: $-5 t + F_{8-7} + F_{1-8} \cos \theta = 0$ $-5 + F_{8-7} + (-14.583)(0.8) = 0 \implies -5 + F_{8-7} - 11.666 = 0 \implies F_{8-7} = 16.666 \text{ t}$ (شد) العضو 8 ($F_{8-7}$) = $\boxed{16.67 t (شد)}$

• المفصل 5: (يتصل بالعضو 4-5 والعضو 5-6)

  • $\sum F_y = 0$: $-8 t - F_{4-5} \sin \theta = 0$ $-8 - (-32.083)(0.6) = 0 \implies -8 + 19.25 = 0 \implies 11.25 \neq 0$. هذا يشير إلى أن افتراض اتجاه العضو 4-5 كان خاطئًا في المفصل 4. يجب أن يكون العضو 4-5 في شد ليتوازن مع القوة الرأسية عند المفصل 5. إعادة حساب $F_{4-5}$ من المفصل 5: $-8 t + F_{4-5} \sin \theta = 0$ (بافتراض $F_{4-5}$ شد) $-8 + F_{4-5} (0.6) = 0 \implies F_{4-5} = 8 / 0.6 = 13.333 \text{ t}$ (شد) العضو 5 ($F_{4-5}$) = $\boxed{13.33 t (شد)}$

    إعادة حساب $F_{3-4}$ من المفصل 4 باستخدام $F_{4-5} = 13.333 \text{ t}$ (شد): $\sum F_x = 0$: $F_{3-4} - F_{4-5} \cos \theta = 0$ (لأن $F_{4-5}$ شد، فمركبته الأفقية تتجه لليسار) $F_{3-4} - (13.333)(0.8) = 0 \implies F_{3-4} - 10.666 = 0 \implies F_{3-4} = 10.666 \text{ t}$ (شد) العضو 3 ($F_{3-4}$) = $\boxed{10.67 t (شد)}$

  • $\sum F_x = 0$ (عند المفصل 5): $F_{5-6} - F_{4-5} \cos \theta = 0$ $F_{5-6} - (13.333)(0.8) = 0 \implies F_{5-6} - 10.666 = 0 \implies F_{5-6} = 10.666 \text{ t}$ (شد) العضو 6 ($F_{5-6}$) = $\boxed{10.67 t (شد)}$

• المفصل 3: (يتصل بالعضو 2-3 والعضو 3-4 والعضو 3-5 والعضو 3-6)

  • $\sum F_y = 0$: $F_{3-7} + F_{3-5} \sin \theta - F_{3-6} \sin \theta = 0$ (بافتراض 3-7 عمودي لأسفل، 3-5 و 3-6 قطريان) (العضو 3-7 هو عمودي، والعضو 3-6 هو قطري) من المفصل 3، الأعضاء المتصلة هي 2-3 (أفقي)، 3-4 (أفقي)، 3-5 (قطري)، 3-6 (قطري). هذا يعني أن العضو 3-7 غير موجود. $\sum F_y = 0$: $F_{3-5} \sin \theta - F_{3-6} \sin \theta = 0$ $F_{3-5} = F_{3-6}$
  • $\sum F_x = 0$: $-F_{2-3} + F_{3-4} + F_{3-5} \cos \theta + F_{3-6} \cos \theta = 0$ $-F_{2-3} + 10.666 + F_{3-5}(0.8) + F_{3-5}(0.8) = 0$ $-F_{2-3} + 10.666 + 1.6 F_{3-5} = 0$

• المفصل 7: (يتصل بالعضو 8-7 والعضو 7-6 والعضو 7-2 والعضو 7-3)

  • $\sum F_y = 0$: $-10 t + F_{7-3} + F_{7-2} \sin \theta = 0$ (بافتراض 7-3 عمودي لأسفل، 7-2 قطري) (العضو 7-3 هو عمودي، والعضو 7-2 هو قطري) من المفصل 7، الأعضاء المتصلة هي 8-7 (أفقي)، 7-6 (أفقي)، 7-2 (قطري)، 7-3 (عمودي). $\sum F_y = 0$: $-10 t + F_{7-3} + F_{7-2} \sin \theta = 0$
  • $\sum F_x = 0$: $-F_{8-7} + F_{7-6} + F_{7-2} \cos \theta = 0$ $-16.666 + F_{7-6} + F_{7-2}(0.8) = 0$

• المفصل 2: (يتصل بالعضو 1-2 والعضو 2-3 والعضو 2-7 والعضو 2-8)

  • $\sum F_y = 0$: $-F_{2-8} - F_{2-7} \sin \theta = 0$ (بافتراض 2-8 عمودي لأسفل، 2-7 قطري) $F_{2-8} = 8.75 \text{ t}$ (شد) من المفصل 8. $-8.75 - F_{2-7} (0.6) = 0 \implies F_{2-7} = -8.75 / 0.6 = -14.583 \text{ t}$ (ضغط)
  • $\sum F_x = 0$: $-F_{1-2} + F_{2-3} + F_{2-7} \cos \theta = 0$ $-6.666 + F_{2-3} + (-14.583)(0.8) = 0$ $-6.666 + F_{2-3} - 11.666 = 0 \implies F_{2-3} = 18.332 \text{ t}$ (شد) العضو 2 ($F_{2-3}$) = $\boxed{18.33 t (شد)}$

• العودة إلى المفصل 7:

  • $\sum F_y = 0$: $-10 t + F_{7-3} + F_{7-2} \sin \theta = 0$ $-10 + F_{7-3} + (-14.583)(0.6) = 0$ $-10 + F_{7-3} - 8.75 = 0 \implies F_{7-3} = 18.75 \text{ t}$ (شد)
  • $\sum F_x = 0$: $-F_{8-7} + F_{7-6} + F_{7-2} \cos \theta = 0$ $-16.666 + F_{7-6} + (-14.583)(0.8) = 0$ $-16.666 + F_{7-6} - 11.666 = 0 \implies F_{7-6} = 28.332 \text{ t}$ (شد) العضو 7 ($F_{7-6}$) = $\boxed{28.33 t (شد)}$

• العودة إلى المفصل 3:

  • $\sum F_y = 0$: $-F_{7-3} + F_{3-5} \sin \theta - F_{3-6} \sin \theta = 0$ (بافتراض 3-5 و 3-6 قطريان) $-18.75 + F_{3-5}(0.6) - F_{3-6}(0.6) =

✂️ That answer was long and got cut off. Reply continue and I'll finish it.