Tracer les courbes du champ et du potentiel électrostatiques pour une sphère uniformément chargée en volume.

Question

ScanSolve AI Tutor · Accepted Answer

Voici la solution pour la question 2 de l'Exercice 3, concernant le traçage des courbes du champ et du potentiel électrostatiques.

Les expressions du champ électrique $E(r)$ et du potentiel électrostatique $V(r)$ sont :

E(r) = \begin{cases} \frac{\beta r^2}{4\epsilon_0} & \text{pour } r < R \\ \frac{\beta R^4}{4\epsilon_0 r^2} & \text{pour } r \ge R \end{cases}

V(r) = \begin{cases} \frac{\beta}{12\epsilon_0} (4R^3 - r^3) & \text{pour } r < R \\ \frac{\beta R^4}{4\epsilon_0 r} & \text{pour } r \ge R \end{cases}

Tracé de la courbe du champ électrique $E(r)$ :

Pour $r < R$ : Le champ $E(r)$ $E (r)$ est proportionnel à $r^2$ $r^{2}$ .
- Il part de $E(0) = 0$ au centre de la sphère.
- Il augmente de manière parabolique jusqu'à la surface de la sphère.
- À $r=R$ , il atteint sa valeur maximale $E(R) = \frac{\beta R^2}{4\epsilon_0}$ .
Pour $r \ge R$ : Le champ $E(r)$ $E (r)$ est proportionnel à $\frac{1}{r^2}$ $\frac{1}{r ^{2}}$ .
- Il diminue à partir de la valeur $E(R)$ à la surface.
- Il tend vers 0 lorsque $r \to \infty$ .
La courbe de $E(r)$ est continue à $r=R$ .

Tracé de la courbe du potentiel électrostatique $V(r)$ :

Pour $r < R$ : Le potentiel $V(r)$ $V (r)$ est une fonction cubique décroissante de $r$ $r$ .
- Il est maximal au centre de la sphère : $V(0) = \frac{\beta R^3}{3\epsilon_0}$ .
- Il diminue à mesure que $r$ augmente.
- À $r=R$ , il atteint la valeur $V(R) = \frac{\beta R^3}{4\epsilon_0}$ .
Pour $r \ge R$ : Le potentiel $V(r)$ $V (r)$ est proportionnel à $\frac{1}{r}$ $\frac{1}{r}$ .
- Il diminue à partir de la valeur $V(R)$ à la surface.
- Il tend vers 0 lorsque $r \to \infty$ (selon notre choix de référence $V(\infty)=0$ ).
La courbe de $V(r)$ est continue et lisse à $r=R$ .

Answer