Un golfista impulsa la pelotita con una inclinación de 40° y una velocidad de 30 m/s. Calcular la altura…

Question

Un golfista impulsa la pelotita con una inclinación de 40° y una velocidad de 30 m/s. Calcular la altura máxima, el tiempo total y el alcance horizontal de la pelotita.

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Aquí están las soluciones a los problemas de movimiento parabólico:

Caso 2:
Un golfista impulsa la pelotita con una inclinación de $40^\circ$ y una velocidad de $30 \, \text{m/s}$ . Calcular la altura máxima, el tiempo total y el alcance horizontal de la pelotita. (Usaremos $g = 10 \, \text{m/s}^2$ )

Calcular las componentes iniciales de la velocidad.
$V_{ix} = V_i \cos(\theta) = 30 \, \text{m/s} \times \cos(40^\circ) \approx 30 \, \text{m/s} \times 0.7660 = 22.98 \, \text{m/s}$ $V_{iy} = V_i \sin(\theta) = 30 \, \text{m/s} \times \sin(40^\circ) \approx 30 \, \text{m/s} \times 0.6428 = 19.28 \, \text{m/s}$
Calcular el tiempo de subida ( $t_s$ ) y la altura máxima ( $h_{max}$ ).
$t_s = \frac{V_{iy}}{g} = \frac{19.28 \, \text{m/s}}{10 \, \text{m/s}^2} = 1.928 \, \text{s}$ $h_{max} = \frac{V_{iy}^2}{2g} = \frac{(19.28 \, \text{m/s})^2}{2 \times 10 \, \text{m/s}^2} = \frac{371.7584 \, \text{m}^2/\text{s}^2}{20 \, \text{m/s}^2} = 18.58792 \, \text{m}$
Calcular el tiempo total de vuelo ( $t_{total}$ ) y el alcance horizontal ( $R$ ).
$t_{total} = 2 t_s = 2 \times 1.928 \, \text{s} = 3.856 \, \text{s}$ $R = V_{ix} t_{total} = 22.98 \, \text{m/s} \times 3.856 \, \text{s} = 88.63008 \, \text{m}$
La altura máxima es $\boxed{\text{18.59 m}}$ , el tiempo total es $\boxed{\text{3.86 s}}$ , y el alcance horizontal es $\boxed{\text{88.63 m}}$ .

Caso 3:
Un cañón dispara una bala con un ángulo de $30^\circ$ y una velocidad de $60 \, \text{m/s}$ . Hallar la altura máxima, el tiempo total y la distancia horizontal que alcanza. (Usaremos $g = 10 \, \text{m/s}^2$ )
Calcular las componentes iniciales de la velocidad.
$V_{ix} = V_i \cos(\theta) = 60 \, \text{m/s} \times \cos(30^\circ) = 60 \, \text{m/s} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 51.96 \, \text{m/s}$ $V_{iy} = V_i \sin(\theta) = 60 \, \text{m/s} \times \sin(30^\circ) = 60 \, \text{m/s} \times \frac{1}{2} = 30.00 \, \text{m/s}$
Calcular el tiempo de subida ( $t_s$ ) y la altura máxima ( $h_{max}$ ).
$t_s = \frac{V_{iy}}{g} = \frac{30.00 \, \text{m/s}}{10 \, \text{m/s}^2} = 3.00 \, \text{s}$ $h_{max} = \frac{V_{iy}^2}{2g} = \frac{(30.00 \, \text{m/s})^2}{2 \times 10 \, \text{m/s}^2} = \frac{900 \, \text{m}^2/\text{s}^2}{20 \, \text{m/s}^2} = 45.00 \, \text{m}$
Calcular el tiempo total de vuelo ( $t_{total}$ ) y el alcance horizontal ( $R$ ).
$t_{total} = 2 t_s = 2 \times 3.00 \, \text{s} = 6.00 \, \text{s}$ $R = V_{ix} t_{total} = 51.96 \, \text{m/s} \times 6.00 \, \text{s} = 311.76 \, \text{m}$
La altura máxima es $\boxed{\text{45.00 m}}$ , el tiempo total es $\boxed{\text{6.00 s}}$ , y la distancia horizontal es $\boxed{\text{311.76 m}}$ .

Caso 4:
Un cazador lanza una flecha con una inclinación de $53^\circ$ y una velocidad de $25 \, \text{m/s}$ . Determinar la altura máxima, el tiempo de subida y la distancia horizontal en ese instante. (Usaremos $g = 10 \, \text{m/s}^2$ )
Calcular las componentes iniciales de la velocidad.
$V_{ix} = V_i \cos(\theta) = 25 \, \text{m/s} \times \cos(53^\circ) \approx 25 \, \text{m/s} \times 0.6018 = 15.045 \, \text{m/s}$ $V_{iy} = V_i \sin(\theta) = 25 \, \text{m/s} \times \sin(53^\circ) \approx 25 \, \text{m/s} \times 0.7986 = 19.965 \, \text{m/s}$
Calcular el tiempo de subida ( $t_s$ ) y la altura máxima ( $h_{max}$ ).
$t_s = \frac{V_{iy}}{g} = \frac{19.965 \, \text{m/s}}{10 \, \text{m/s}^2} = 1.9965 \, \text{s}$ $h_{max} = \frac{V_{iy}^2}{2g} = \frac{(19.965 \, \text{m/s})^2}{2 \times 10 \, \text{m/s}^2} = \frac{398.601225 \, \text{m}^2/\text{s}^2}{20 \, \text{m/s}^2} = 19.93006 \, \text{m}$
Calcular la distancia horizontal en el instante de la altura máxima.
$x_{t_s} = V_{ix} t_s = 15.045 \, \text{m/s} \times 1.9965 \, \text{s} = 30.03996 \, \text{m}$
La altura máxima es $\boxed{\text{19.93 m}}$ , el tiempo de subida es $\boxed{\text{2.00 s}}$ , y la distancia horizontal en ese instante es $\boxed{\text{30.04 m}}$ .

Caso 5:
Una voleibolista saca la pelota con un ángulo de $20^\circ$ y una velocidad de $15 \, \text{m/s}$ . ¿Si la Net mide $3 \, \text{m}$ de altura logra pasar la bola o no? ¿Qué tiempo emplea y qué distancia recorrió hasta ese momento? (Usaremos $g = 10 \, \text{m/s}^2$ )
Calcular las componentes iniciales de la velocidad.
$V_{ix} = V_i \cos(\theta) = 15 \, \text{m/s} \times \cos(20^\circ) \approx 15 \, \text{m/s} \times 0.9397 = 14.0955 \, \text{m/s}$ $V_{iy} = V_i \sin(\theta) = 15 \, \text{m/s} \times \sin(20^\circ) \approx 15 \, \text{m/s} \times 0.3420 = 5.130 \, \text{m/s}$
Calcular la altura máxima ( $h_{max}$ ).
$h_{max} = \frac{V_{iy}^2}{2g} = \frac{(5.130 \, \text{m/s})^2}{2 \times 10 \, \text{m/s}^2} = \frac{26.3169 \, \text{m}^2/\text{s}^2}{20 \, \text{m/s}^2} = 1.315845 \, \text{m}$
Comparar la altura máxima con la altura de la red.
Dado que $h_{max} \approx 1.32 \, \text{m}$ es menor que la altura de la red ( $3 \, \text{m}$ ), la pelota no logra pasar la red.
Calcular el tiempo y la distancia horizontal hasta la altura máxima (el "momento" más relevante que alcanza la pelota).
$t_s = \frac{V_{iy}}{g} = \frac{5.130 \, \text{m/s}}{10 \, \text{m/s}^2} = 0.513 \, \text{s}$ $x_{t_s} = V_{ix} t_s = 14.0955 \, \text{m/s} \times 0.513 \, \text{s} = 7.23099 \, \text{m}$
La pelota no logra pasar la red. El tiempo que emplea hasta su altura máxima es $\boxed{\text{0.51 s}}$ , y la distancia horizontal recorrida hasta ese momento es $\boxed{\text{7.23 m}}$ .

Caso 6:
Un arquero patea la pelota con una inclinación de $25^\circ$ y una velocidad de $40 \, \text{m/s}$ . Si el largo del estadio es $105 \, \text{m}$ , ¿a qué distancia del arco contrario llega la pelota y el tiempo respectivo? (Usaremos $g = 10 \, \text{m/s}^2$ )
Calcular las componentes iniciales de la velocidad.
$V_{ix} = V_i \cos(\theta) = 40 \, \text{m/s} \times \cos(25^\circ) \approx 40 \, \text{m/s} \times 0.9063 = 36.252 \, \text{m/s}$ $V_{iy} = V_i \sin(\theta) = 40 \, \text{m/s} \times \sin(25^\circ) \approx 40 \, \text{m/s} \times 0.4226 = 16.904 \, \text{m/s}$
Calcular el tiempo de subida ( $t_s$ ) y el tiempo total de vuelo ( $t_{total}$ ).
$t_s = \frac{V_{iy}}{g} = \frac{16.904 \, \text{m/s}}{10 \, \text{m/s}^2} = 1.6904 \, \text{s}$ $t_{total} = 2 t_s = 2 \times 1.6904 \, \text{s} = 3.3808 \, \text{s}$
Calcular el alcance horizontal ( $R$ ).
$R = V_{ix} t_{total} = 36.252 \, \text{m/s} \times 3.3808 \, \text{s} = 122.5496 \, \text{m}$
Determinar la distancia del arco contrario.
El alcance de la pelota es $R \approx 122.55 \, \text{m}$ . El largo del estadio es $105 \, \text{m}$ .
La pelota llega a una distancia de $122.55 \, \text{m} - 105 \, \text{m} = 17.55 \, \text{m}$ más allá del arco contrario.
La pelota llega a $\boxed{\text{17.55 m}}$ del arco contrario, y el tiempo respectivo es $\boxed{\text{3.38 s}}$ .

Un golfista impulsa la pelotita con una inclinación de 40° y una velocidad de 30 m/s. Calcular la altura máxima, el tiempo total y el alcance horizontal de la pelotita.

Step-by-step solution

Calcular las componentes iniciales de la velocidad.

Calcular el tiempo de subida ( $t_s$ ) y la altura máxima ( $h_{max}$ ).

Calcular el tiempo total de vuelo ( $t_{total}$ ) y el alcance horizontal ( $R$ ).

Calcular las componentes iniciales de la velocidad.

Calcular el tiempo de subida ( $t_s$ ) y la altura máxima ( $h_{max}$ ).

Calcular el tiempo total de vuelo ( $t_{total}$ ) y el alcance horizontal ( $R$ ).

Calcular las componentes iniciales de la velocidad.

Calcular el tiempo de subida ( $t_s$ ) y la altura máxima ( $h_{max}$ ).

Calcular la distancia horizontal en el instante de la altura máxima.

Calcular las componentes iniciales de la velocidad.

Calcular la altura máxima ( $h_{max}$ ).

Comparar la altura máxima con la altura de la red.

Calcular el tiempo y la distancia horizontal hasta la altura máxima (el "momento" más relevante que alcanza la pelota).

Calcular las componentes iniciales de la velocidad.

Calcular el tiempo de subida ( $t_s$ ) y el tiempo total de vuelo ( $t_{total}$ ).

Calcular el alcance horizontal ( $R$ ).

Determinar la distancia del arco contrario.

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Un golfista impulsa la pelotita con una inclinación de 40° y una velocidad de 30 m/s. Calcular la altura máxima, el tiempo total y el alcance horizontal de la pelotita.

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Calcular las componentes iniciales de la velocidad.

Calcular el tiempo de subida (tst_sts​) y la altura máxima (hmaxh_{max}hmax​).

Calcular el tiempo total de vuelo (ttotalt_{total}ttotal​) y el alcance horizontal (RRR).

Calcular las componentes iniciales de la velocidad.

Calcular el tiempo de subida (tst_sts​) y la altura máxima (hmaxh_{max}hmax​).

Calcular el tiempo total de vuelo (ttotalt_{total}ttotal​) y el alcance horizontal (RRR).

Calcular las componentes iniciales de la velocidad.

Calcular el tiempo de subida (tst_sts​) y la altura máxima (hmaxh_{max}hmax​).

Calcular la distancia horizontal en el instante de la altura máxima.

Calcular las componentes iniciales de la velocidad.

Calcular la altura máxima (hmaxh_{max}hmax​).

Comparar la altura máxima con la altura de la red.

Calcular el tiempo y la distancia horizontal hasta la altura máxima (el "momento" más relevante que alcanza la pelota).

Calcular las componentes iniciales de la velocidad.

Calcular el tiempo de subida (tst_sts​) y el tiempo total de vuelo (ttotalt_{total}ttotal​).

Calcular el alcance horizontal (RRR).

Determinar la distancia del arco contrario.

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Calcular el alcance horizontal ( $R$ ).