Voici la résolution de l'exercice 4 sur la radioactivité :

Voici la résolution de l'exercice 4 sur la radioactivité :

Données :
$m(^{210}_{84}\text{Po}) = 210,0482 \text{ u}$
$m(^{206}_{82}\text{Pb}) = 206,0385 \text{ u}$
$m(^{4}_{2}\text{He}) = 4,0026 \text{ u}$ (masse de la particule $\alpha$)
$m_p = 1,007276 \text{ u}$
$m_n = 1,008665 \text{ u}$
$1 \text{ u} = 931,5 \text{ MeV/c}^2$
$\mathcal{N} = 6,02 \cdot 10^{23} \text{ mol}^{-1}$
$T = 138,4 \text{ jours}$

1- Définis :

• 1-1- La « demi-vie » ou période d'un noyau radioactif. La demi-vie ($T$) d'un noyau radioactif est le temps nécessaire pour que la moitié des noyaux d'un échantillon initial se désintègrent. C'est une caractéristique propre à chaque isotope radioactif.

• 1-2- L'activité radioactive. L'activité radioactive ($A$) d'un échantillon est le nombre de désintégrations par unité de temps. Elle s'exprime en Becquerel (Bq), où 1 Bq correspond à une désintégration par seconde.

2- Détermine :

• 2-1- La constante radioactive du polonium. La constante radioactive $\lambda$ est liée à la demi-vie $T$ par la relation :

  $$\lambda = \frac{\ln(2)}{T}$$

  Convertissons la demi-vie en secondes : $T = 138,4 \text{ jours} \times 24 \text{ h/jour} \times 3600 \text{ s/h} = 11958912 \text{ s}$ Calculons $\lambda$ :

  $$\lambda = \frac{\ln(2)}{11958912 \text{ s}} \approx \frac{0,693}{11958912 \text{ s}}$$ $$\lambda \approx 5,79 \cdot 10^{-8} \text{ s}^{-1}$$

  La constante radioactive du polonium est $\boxed{\lambda \approx 5,79 \cdot 10^{-8} \text{ s}^{-1}}$.

• 2-2- L'activité $A_0$ de l'échantillon de polonium à la date $t=0 \text{ s}$. L'énoncé indique "Un échantillon de polonium radioactif contient à la date $t=0$, $N_0$ noyaux". Cependant, la valeur de $N_0$ n'est pas donnée. Sans $N_0$, il est impossible de calculer numériquement $A_0$. La formule de l'activité initiale est :

  $$A_0 = \lambda N_0$$

  Si $N_0$ était fourni, le calcul serait direct.

• 2-3- La date à laquelle 80% des noyaux initiaux seront désintégrés. Si 80% des noyaux sont désintégrés, cela signifie qu'il reste 20% des noyaux initiaux. La loi de décroissance radioactive est $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$. On veut trouver $t$ tel que $N(t) = 0,20 N_0$.

  $$0,20 N_0 = N_0 e^{-\lambda t}$$ $$0,20 = e^{-\lambda t}$$

  Prenons le logarithme népérien des deux côtés :

  $$\ln(0,20) = -\lambda t$$ $$t = -\frac{\ln(0,20)}{\lambda}$$ $$t = -\frac{-1,609}{5,79 \cdot 10^{-8} \text{ s}^{-1}}$$ $$t \approx 2,779 \cdot 10^7 \text{ s}$$

  Convertissons en jours :

  $$t \approx \frac{2,779 \cdot 10^7 \text{ s}}{24 \text{ h/jour} \times 3600 \text{ s/h}} \approx \frac{2,779 \cdot 10^7}{86400} \text{ jours}$$ $$t \approx 321,6 \text{ jours}$$

  La date à laquelle 80% des noyaux initiaux seront désintégrés est $\boxed{t \approx 321,6 \text{ jours}}$.

3- Calcule les énergies de liaisons par nucléon des noyaux du polonium 210 et du plomb 206. Identifie le noyau le plus stable.

• Énergie de liaison du polonium 210 ($^{210}_{84}\text{Po}$) Nombre de protons $Z = 84$ Nombre de neutrons $N = A - Z = 210 - 84 = 126$ Défaut de masse $\Delta m(\text{Po})$ :

  $$\Delta m(\text{Po}) = (Z \cdot m_p + N \cdot m_n) - m(^{210}_{84}\text{Po})$$ $$\Delta m(\text{Po}) = (84 \cdot 1,007276 \text{ u} + 126 \cdot 1,008665 \text{ u}) - 210,0482 \text{ u}$$ $$\Delta m(\text{Po}) = (84,611184 \text{ u} + 127,09179 \text{ u}) - 210,0482 \text{ u}$$ $$\Delta m(\text{Po}) = 211,702974 \text{ u} - 210,0482 \text{ u}$$ $$\Delta m(\text{Po}) = 1,654774 \text{ u}$$

  Énergie de liaison $E_L(\text{Po})$ :

  $$E_L(\text{Po}) = \Delta m(\text{Po}) \cdot c^2 = 1,654774 \text{ u} \times 931,5 \text{ MeV/u}$$ $$E_L(\text{Po}) \approx 1541,5 \text{ MeV}$$

  Énergie de liaison par nucléon $E_{L/A}(\text{Po})$ :

  $$E_{L/A}(\text{Po}) = \frac{E_L(\text{Po})}{A} = \frac{1541,5 \text{ MeV}}{210}$$ $$E_{L/A}(\text{Po}) \approx 7,340 \text{ MeV/nucléon}$$

  L'énergie de liaison par nucléon du polonium 210 est $\boxed{7,340 \text{ MeV/nucléon}}$.

• Énergie de liaison du plomb 206 ($^{206}_{82}\text{Pb}$) Nombre de protons $Z = 82$ Nombre de neutrons $N = A - Z = 206 - 82 = 124$ Défaut de masse $\Delta m(\text{Pb})$ :

  $$\Delta m(\text{Pb}) = (Z \cdot m_p + N \cdot m_n) - m(^{206}_{82}\text{Pb})$$ $$\Delta m(\text{Pb}) = (82 \cdot 1,007276 \text{ u} + 124 \cdot 1,008665 \text{ u}) - 206,0385 \text{ u}$$ $$\Delta m(\text{Pb}) = (82,596632 \text{ u} + 125,07446 \text{ u}) - 206,0385 \text{ u}$$ $$\Delta m(\text{Pb}) = 207,671092 \text{ u} - 206,0385 \text{ u}$$ $$\Delta m(\text{Pb}) = 1,632592 \text{ u}$$

  Énergie de liaison $E_L(\text{Pb})$ :

  $$E_L(\text{Pb}) = \Delta m(\text{Pb}) \cdot c^2 = 1,632592 \text{ u} \times 931,5 \text{ MeV/u}$$ $$E_L(\text{Pb}) \approx 1520,8 \text{ MeV}$$

  Énergie de liaison par nucléon $E_{L/A}(\text{Pb})$ :

  $$E_{L/A}(\text{Pb}) = \frac{E_L(\text{Pb})}{A} = \frac{1520,8 \text{ MeV}}{206}$$ $$E_{L/A}(\text{Pb}) \approx 7,383 \text{ MeV/nucléon}$$

  L'énergie de liaison par nucléon du plomb 206 est $\boxed{7,383 \text{ MeV/nucléon}}$.

• Identification du noyau le plus stable. Un noyau est d'autant plus stable que son énergie de liaison par nucléon est élevée. Comparons les valeurs : $E_{L/A}(\text{Po}) \approx 7,340 \text{ MeV/nucléon}$ $E_{L/A}(\text{Pb}) \approx 7,383 \text{ MeV/nucléon}$ Puisque $E_{L/A}(\text{Pb}) > E_{L/A}(\text{Po})$, le noyau de plomb 206 est plus stable que le noyau de polonium 210. Le noyau le plus stable est le $\boxed{\text{plomb 206}}$.

4.

• 4-1- Donne la nature de la particule $\alpha$. La particule $\alpha$ est un noyau d'hélium, composé de 2 protons et 2 neutrons. Sa notation est $\boxed{^{4}_{2}\text{He}}$.

• 4-2- Écris l'équation de désintégration du polonium 210 en plomb 206. La désintégration du polonium 210 ($^{210}_{84}\text{Po}$) en plomb 206 ($^{206}_{82}\text{Pb}$) est une désintégration de type $\alpha$. L'équation générale est : $^{A}_{Z}\text{X} \to ^{A'}_{Z'}\text{Y} + ^{4}_{2}\text{He}$. Appliquons les lois de conservation du nombre de masse (A) et du nombre de charge (Z) :

  $$^{210}_{84}\text{Po} \to ^{206}_{82}\text{Pb} + ^{4}_{2}\text{He}$$

  Vérification : Nombre de masse : $210 = 206 + 4$ (correct) Nombre de charge : $84 = 82 + 2$ (correct) L'équation de désintégration est $\boxed{^{210}_{84}\text{Po} \to ^{206}_{82}\text{Pb} + ^{4}_{2}\text{He}}$.

• 4-3- Détermine l'énergie libérée par cette réaction. L'énergie libérée $E_{libérée}$ est donnée par la variation de masse $\Delta m$ multipliée par $c^2$.

  $$\Delta m = m(\text{produits}) - m(\text{réactifs})$$ $$\Delta m = (m(^{206}_{82}\text{Pb}) + m(^{4}_{2}\text{He})) - m(^{210}_{84}\text{Po})$$ $$\Delta m = (206,0385 \text{ u} + 4,0026 \text{ u}) - 210,0482 \text{ u}$$ $$\Delta m = 210,0411 \text{ u} - 210,0482 \text{ u}$$ $$\Delta m = -0,0071 \text{ u}$$

  L'énergie libérée est $E_{libérée} = |\Delta m| \cdot c^2$ (en valeur absolue car $\Delta m$ est négatif pour une énergie libérée).

  $$E_{libérée} = 0,0071 \text{ u} \times 931,5 \text{ MeV/u}$$ $$E_{libérée} \approx 6,614 \text{ MeV}$$

  L'énergie libérée par cette réaction est $\boxed{E_{libérée} \approx 6,614 \text{ MeV}}$.