खालीलपैकी अपरिमेय संख्या कोणती?

यहाँ दिए गए प्रश्नों के हल नीचे दिए गए हैं: प्र. 8: खालीलपैकी अपरिमेय संख्या कोणती? (निम्नलिखित में से कौन सी अपरिमेय संख्या है?) Step 1: प्रत्येक विकल्प का विश्लेषण करें। (1) sqrt(225) = 15. यह एक पूर्णांक है, इसलिए यह एक परिमेय संख्या है। (2) 1.4142.... यह एक अनवरत और अनावर्ती दशमलव प्रसार है, जो अपरिमेय संख्या की परिभाषा है। प्रश्न में ही इसे अपरिमेय संख्या बताया गया है। (3) (-4)/(5). यह (p)/(q) के रूप में है, जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q ≠ 0 है, इसलिए यह एक परिमेय संख्या है। (4) sqrt((16)/(25)) = sqrt(16)sqrt(25) = (4)/(5). यह भी (p)/(q) के रूप में है, इसलिए यह एक परिमेय संख्या है। Step 2: अपरिमेय संख्या की पहचान करें। अपरिमेय संख्या वह होती है जिसे (p)/(q) के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता, जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q ≠ 0 है। विकल्प (2) इस परिभाषा को पूरा करता है। उत्तर: 2 --- प्र. 9: -sqrt(2) या संख्येचा प्रकार कोणता? (दोन अचूक पर्याय निवडा.) (-sqrt(2) किस प्रकार की संख्या है? (दो सही विकल्प चुनें।)) Step 1: -sqrt(2) के गुणों का विश्लेषण करें। sqrt(2) एक अपरिमेय संख्या है क्योंकि यह एक पूर्ण वर्ग नहीं है और इसका दशमलव प्रसार अनवरत और अनावर्ती होता है। इसलिए, -sqrt(2) भी एक अपरिमेय संख्या है। सभी अपरिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याएँ होती हैं। Step 2: विकल्पों की जाँच करें। (1) परिमेय संख्या: -sqrt(2) परिमेय संख्या नहीं है। (2) ऋण परिमेय संख्या: -sqrt(2) परिमेय संख्या नहीं है, इसलिए यह ऋण परिमेय संख्या भी नहीं है। (3) अपरिमेय संख्या: यह सही है। (4) वास्तव संख्या: यह सही है, क्योंकि सभी अपरिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याएँ होती हैं। उत्तर: 3, 4 --- स्वाध्याय 1.2 प्र. 1: सर्वात लहान मोजसंख्या कोणती? (सबसे छोटी गिनती की संख्या कौन सी है?) Step 1: गिनती की संख्याओं की परिभाषा समझें। गिनती की संख्याएँ (counting numbers) प्राकृतिक संख्याएँ (natural numbers) होती हैं, जो 1, 2, 3, से शुरू होती हैं। Step 2: सबसे छोटी गिनती की संख्या पहचानें। इन संख्याओं में सबसे छोटी संख्या 1 है। उत्तर: 1 --- प्र. 2: दोन बरोबर पर्याय निवडा. (दो सही विकल्प चुनें।) Step 1: प्रत्येक कथन का मूल्यांकन करें। (1) ऋण संख्या नैसर्गिक संख्या असतात. (ऋण संख्याएँ प्राकृतिक संख्याएँ होती हैं।) - यह गलत है। प्राकृतिक संख्याएँ 1, 2, 3, होती हैं। (2) सर्वात लहान एक अंकी पूर्ण संख्या 0 आहे. (सबसे छोटी एक अंकी पूर्ण संख्या 0 है।) - पूर्ण संख्याएँ 0, 1, 2, 3, होती हैं। सबसे छोटी एक अंकी पूर्ण संख्या 0 है। यह सही है। (3) सर्वात मोठी ऋण पूर्णांक संख्या अनंत आहे. (सबसे बड़ी ऋण पूर्णांक संख्या अनंत है।) - यह गलत है। सबसे बड़ी ऋण पूर्णांक संख्या -1 है। (4) सर्वात लहान धन पूर्णांक संख्या 1 आहे. (सबसे छोटी धन पूर्णांक संख्या 1 है।) - धन पूर्णांक संख्याएँ 1, 2, 3, होती हैं। सबसे छोटी धन पूर्णांक संख्या 1 है। यह सही है। Step 2: दो सही विकल्प चुनें। विकल्प (2) और (4) सही हैं। उत्तर: 2, 4 --- प्र. 3: पर्यायातील सत्य विधान कोणते? (विकल्पों में से कौन सा कथन सत्य है?) Step 1: प्रत्येक कथन का मूल्यांकन करें। (1) धन व ऋण पूर्णांक संख्या म्हणजे परिमेय संख्या. (धन और ऋण पूर्णांक संख्याएँ परिमेय संख्याएँ होती हैं।) - यह कथन सही है कि धन और ऋण पूर्णांक परिमेय संख्याएँ होती हैं, लेकिन यह अधूरा है क्योंकि इसमें 0 शामिल नहीं है, जो एक पूर्णांक और परिमेय संख्या भी है। (2) पूर्णांक संख्या या नैसर्गिक संख्या असतात. (पूर्णांक संख्याएँ प्राकृतिक संख्याएँ होती हैं।) - यह गलत है। पूर्णांक संख्याएँ ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... होती हैं, जबकि प्राकृतिक संख्याएँ 1, 2, 3, ... होती हैं। (3) पूर्णांक संख्या या परिमेय संख्या असतात. (पूर्णांक संख्याएँ परिमेय संख्याएँ होती हैं।) - यह सही है। प्रत्येक पूर्णांक z को (z)/(1) के रूप में लिखा जा सकता है, जो (p)/(q) का रूप है। (4) परिमेय संख्या या वास्तव संख्या नसतात. (परिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याएँ नहीं होती हैं।) - यह गलत है। परिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याओं का एक उपसमूह हैं। Step 2: सबसे सटीक सत्य कथन चुनें। विकल्प (3) सबसे सटीक और व्यापक रूप से सत्य कथन है। उत्तर: 3 --- प्र. 4: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + + 100 = किती? (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + + 100 कितना है?) Step 1: पहले n प्राकृतिक संख्याओं के योग का सूत्र लिखें। पहले n प्राकृतिक संख्याओं का योग S_n = (n(n+1))/(2) होता है। Step 2: सूत्र में मान प्रतिस्थापित करें और गणना करें। यहाँ n = 100 है। S_100 = (100(100+1))/(2) S_100 = (100 × 101)/(2) S_100 = 50 × 101 S_100 = 5050 उत्तर: 3 --- प्र. 5: पहिल्या 500 पर्यंत असणाऱ्या नैसर्गिक संख्यांमध्ये एकूण किती वर्गसंख्या आहेत? (पहले 500 तक की प्राकृतिक संख्याओं में कुल कितनी पूर्ण वर्ग संख्याएँ हैं?) Step 1: हमें वह सबसे बड़ी पूर्णांक संख्या x ज्ञात करनी है जिसका वर्ग 500 से कम या उसके बराबर हो। हमें x^2 500 को संतुष्ट करने वाला सबसे बड़ा पूर्णांक x खोजना है। Step 2: वर्गों की गणना करें। 20^2 = 400 21^2 = 441 22^2 = 484 23^2 = 529 Step 3: परिणाम निर्धारित करें। चूंकि 22^2 = 484 जो 500 से कम या उसके बराबर है, और 23^2 = 529 जो 500 से अधिक है, तो 1 से 500 तक की पूर्ण वर्ग संख्याएँ 1^2, 2^2, , 22^2 हैं। इसलिए, कुल 22 पूर्ण वर्ग संख्याएँ हैं। उत्तर: 4 --- प्र. 6: पुढीलपैकी धन परिमेय संख्या कोणती? (दोन अचूक पर्याय निवडा.) (निम्नलिखित में से कौन सी धनात्मक परिमेय संख्या है? (दो सही विकल्प चुनें।)) Step 1: धनात्मक परिमेय संख्या की परिभाषा समझें। एक परिमेय संख्या (p)/(q) धनात्मक होती है यदि p और q दोनों का चिन्ह समान हो (दोनों धनात्मक या दोनों ऋणात्मक)। Step 2: प्रत्येक विकल्प का विश्लेषण करें। (1) (-5)/(11): अंश ऋणात्मक है और हर धनात्मक है। यह एक ऋणात्मक परिमेय संख्या है। (2) (-4)/(-15): अंश और हर दोनों ऋणात्मक हैं। (-4)/(-15) = (4)/(15). यह एक धनात्मक परिमेय संख्या है। (3) (0)/(6): यह 0 के बराबर है, जो न तो धनात्मक है और न ही ऋणात्मक। (4) (6)/(7): अंश और हर दोनों धनात्मक हैं। यह एक धनात्मक परिमेय संख्या है। Step 3: दो सही विकल्प चुनें। विकल्प (2) और (4) धनात्मक परिमेय संख्याएँ हैं। उत्तर: 2, 4 --- प्र. 7: खालीलपैकी ऋण परिमेय संख्या कोणती? (निम्नलिखित में से कौन सी ऋण परिमेय संख्या है?) Step 1: ऋण परिमेय संख्या की परिभाषा समझें। एक परिमेय संख्या (p)/(q) ऋणात्मक होती है यदि p और q का चिन्ह विपरीत हो (एक धनात्मक और दूसरा ऋणात्मक)। Step 2: प्रत्येक विकल्प का विश्लेषण करें। (1) (2)/(4) = (1)/(2): यह एक धनात्मक परिमेय संख्या है। (2) (4)/(-6): अंश धनात्मक है और हर ऋणात्मक है। यह एक ऋण परिमेय संख्या है। (3) sqrt(4) = 2: यह एक धनात्मक पूर्णांक है, इसलिए धनात्मक परिमेय संख्या है। (4) -(-20) = 20: यह एक धनात्मक पूर्णांक है, इसलिए धनात्मक परिमेय संख्या है। Step 3: ऋण परिमेय संख्या पहचानें। विकल्प (2) एक ऋण परिमेय संख्या है। उत्तर: 2 --- प्र. 8: खालीलपैकी अपरिमेय संख्या कोणती? (दोन अचूक पर्याय निवडा.) (निम्नलिखित में से कौन सी अपरिमेय संख्या है? (दो सही विकल्प चुनें।)) Step 1: अपरिमेय संख्या की परिभाषा समझें। एक अपरिमेय संख्या वह होती है जिसे (p)/(q) के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता, जहाँ p, q पूर्णांक हैं और q ≠ 0 है। Step 2: प्रत्येक विकल्प का विश्लेषण करें। (1) 2 + sqrt(3): sqrt(3) एक अपरिमेय संख्या है। एक परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का योग हमेशा एक अपरिमेय संख्या होता है। इसलिए, 2 + sqrt(3) एक अपरिमेय संख्या है। (2) sqrt(125) = sqrt(25 × 5) = 5sqrt(5): sqrt(5) एक अपरिमेय संख्या है। एक परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का गुणनफल (शून्य को छोड़कर) हमेशा एक अपरिमेय संख्या होता है। इसलिए, 5sqrt(5) एक अपरिमेय संख्या है। (3) [3]20: 20 एक पूर्ण घन नहीं है (2^3=8, 3^3=27)। इसलिए, [3]20 एक अपरिमेय संख्या है। (4) sqrt(1.69) = sqrt((169)/(100)) = (13)/(10) = 1.3: यह एक परिमेय संख्या है। Step 3: दो अपरिमेय संख्याएँ चुनें। विकल्प (1), (2) और (3) तीनों अपरिमेय संख्याएँ हैं। चूंकि हमें दो अचूक विकल्प चुनने हैं, हम (1) और (2) को चुनेंगे। उत्तर: 1, 2 --- प्र. 9: (7)/(21) या परिमेय संख्येचे योग्य दशांश रूप कोणते? (परिमेय संख्या (7)/(21) का सही दशमलव रूप क्या है?) Step 1: भिन्न को सरल करें। (7)/(21) = (1)/(3) Step 2: सरल किए गए भिन्न को दशमलव रूप में बदलें। (1)/(3) = 0.333... यह एक आवर्ती दशमलव है, जिसे 0.3 के रूप में लिखा जाता है। उत्तर: 2 --- प्र. 10: (-3)/(5) या परिमेय संख्येशी समान असणारी परिमेय संख्या कोणती? (दोन अचूक पर्याय निवडा.) (परिमेय संख्या (-3)/(5) के बराबर कौन सी परिमेय संख्या है? (दो सही विकल्प चुनें।)) Step 1: (-3)/(5) के बराबर परिमेय संख्याएँ ज्ञात करें। हमें ऐसे भिन्न खोजने हैं जिन्हें सरल करने पर (-3)/(5) प्राप्त हो। Step 2: प्रत्येक विकल्प का विश्लेषण करें। (1) (-12)/(20): अंश और हर को 4 से विभाजित करने पर (-12 ÷ 4)/(20 ÷ 4) = (-3)/(5) प्राप्त होता है। यह बराबर है। (2) (-9)/(20): यह (-3)/(5) के बराबर नहीं है, क्योंकि (-3)/(5) = (-3 × 4)/(5 × 4) = (-12)/(20). (3) (-6)/(5): यह (-3)/(5) के बराबर नहीं है। (4) (-3)/(5): यह स्वयं के बराबर है। Step 3: दो सही विकल्प चुनें। विकल्प (1) और (4) सही हैं। उत्तर: 1, 4 3 done, 2 left today. You're making progress.