أ) اكتب على الشكل الأسي الأعداد العقدية: 1-i و 1+sqrt(3)i ب) بين أن: (1-i)(1+sqrt(3)i)2sqrt(2) = eⁱ(pi)/(12)

بالتأكيد! لنحل التمرين 3، الجزء 1.

التمرين 3: (3.5 نقطة)
1- أ) اكتب على الشكل الأسي الأعداد العقدية: $1-i$ و $1+\sqrt{3}i$

لتحويل العدد العقدي $z = a+bi$ إلى الشكل الأسي $re^{i\theta}$، نحسب المعيار $r = \sqrt{a^2+b^2}$ والزاوية $\theta$ حيث $\cos\theta = \frac{a}{r}$ و $\sin\theta = \frac{b}{r}$.

• للعدد العقدي $1-i$: المعيار:

  $$r_1 = |1-i| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$$

  الزاوية:

  $$\cos\theta_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} \quad \text{و} \quad \sin\theta_1 = \frac{-1}{\sqrt{2}}$$

  إذن $\theta_1 = -\frac{\pi}{4}$ (أو $\frac{7\pi}{4}$). الشكل الأسي للعدد $1-i$ هو:

  $$1-i = \sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}$$

• للعدد العقدي $1+\sqrt{3}i$: المعيار:

  $$r_2 = |1+\sqrt{3}i| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$$

  الزاوية:

  $$\cos\theta_2 = \frac{1}{2} \quad \text{و} \quad \sin\theta_2 = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

  إذن $\theta_2 = \frac{\pi}{3}$. الشكل الأسي للعدد $1+\sqrt{3}i$ هو:

  $$1+\sqrt{3}i = 2e^{i\frac{\pi}{3}}$$

1- ب) بين أن: $\frac{(1-i)(1+\sqrt{3}i)}{2\sqrt{2}} = e^{i\frac{\pi}{12}}$

نستخدم الأشكال الأسية التي وجدناها في الجزء أ):

$$(1-i)(1+\sqrt{3}i) = \left(\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}\right) \left(2e^{i\frac{\pi}{3}}\right)$$

نضرب المعيارين ونجمع الزوايا:

$$= 2\sqrt{2} e^{i\left(-\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}\right)}$$

نوحد المقامات للزوايا:

$$= 2\sqrt{2} e^{i\left(-\frac{3\pi}{12} + \frac{4\pi}{12}\right)}$$ $$= 2\sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{12}}$$

الآن نقسم على $2\sqrt{2}$:

$$\frac{(1-i)(1+\sqrt{3}i)}{2\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{12}}}{2\sqrt{2}}$$ $$= e^{i\frac{\pi}{12}}$$

وهو المطلوب إثباته.

إذن، الأشكال الأسية هي:

• $1-i = \boxed{\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}}$
• $1+\sqrt{3}i = \boxed{2e^{i\frac{\pi}{3}}}$ والإثبات تم بنجاح.