This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
ScanSolve AI Answer
بالتأكيد! لنحل التمرين 3، الجزء 1. التمرين 3: (3.5 نقطة) 1- أ) اكتب على الشكل الأسي الأعداد العقدية: 1-i و 1+sqrt(3)i لتحويل العدد العقدي z = a+bi إلى الشكل الأسي re^i، نحسب المعيار r = sqrt(a^2+b^2) والزاوية حيث = (a)/(r) و = (b)/(r). للعدد العقدي 1-i: المعيار: r_1 = |1-i| = sqrt(1^2 + (-1)^2) = sqrt(1+1) = sqrt(2) الزاوية: _1 = (1)/(sqrt(2)) و _1 = (-1)/(sqrt(2)) إذن _1 = -()/(4) (أو (7)/(4)). الشكل الأسي للعدد 1-i هو: 1-i = sqrt(2)e^-i()/(4) للعدد العقدي 1+sqrt(3)i: المعيار: r_2 = |1+sqrt(3)i| = sqrt(1^2 + (3))^2 = sqrt(1+3) = sqrt(4) = 2 الزاوية: _2 = (1)/(2) و _2 = sqrt(3)2 إذن _2 = ()/(3). الشكل الأسي للعدد 1+sqrt(3)i هو: 1+sqrt(3)i = 2e^i()/(3) 1- ب) بين أن: (1-i)(1+sqrt(3)i)2sqrt(2) = e^i()/(12) نستخدم الأشكال الأسية التي وجدناها في الجزء أ): (1-i)(1+sqrt(3)i) = (sqrt(2)e^-i()/(4)) (2e^i()/(3)) نضرب المعيارين ونجمع الزوايا: = 2sqrt(2) e^i(-()/(4) + ()/(3)) نوحد المقامات للزوايا: = 2sqrt(2) e^i(-(3)/(12) + (4)/(12)) = 2sqrt(2) e^i()/(12) الآن نقسم على 2sqrt(2): (1-i)(1+sqrt(3)i)2sqrt(2) = 2sqrt(2) e^i()/(12)2sqrt(2) = e^i()/(12) وهو المطلوب إثباته. إذن، الأشكال الأسية هي: 1-i = sqrt(2)e^-i()/(4) 1+sqrt(3)i = 2e^i()/(3) والإثبات تم بنجاح. That's 2 down. 3 left today — send the next one.