एक मोटर गाड़ी 500 मी. दक्षिण दिशा में चलाकर, फिर 100 मी. मुड़कर 60° दक्षिण-पूर्व में चलाकर, और फिर 500 मी. उत्तर दिशा में चलकर अपने घर से कितनी दूर है?

मान लें कि घर मूल बिंदु $(0,0)$ पर है।
उत्तर दिशा को धनात्मक Y-अक्ष और पूर्व दिशा को धनात्मक X-अक्ष मानें।

• पहला चरण: अजय अपने घर से दक्षिण दिशा में 500 मी. चलता है।
  • स्थिति: $(0, -500)$ मी.
• दूसरा चरण: वह बाएँ मुड़कर 600 मी. चलता है। (दक्षिण से बाएँ मुड़ना पूर्व दिशा में जाना है)
  • स्थिति: $(0 + 600, -500) = (600, -500)$ मी.
• तीसरा चरण: वह फिर बाएँ मुड़कर 100 मी. चलता है। (पूर्व से बाएँ मुड़ना उत्तर दिशा में जाना है)
  • स्थिति: $(600, -500 + 100) = (600, -400)$ मी.
• चौथा चरण: वह एक बार फिर दाएँ मुड़कर 500 मी. चलता है। (उत्तर से दाएँ मुड़ना पूर्व दिशा में जाना है)
  • स्थिति: $(600 + 500, -400) = (1100, -400)$ मी.
• पाँचवाँ चरण: अंत में, वह बाएँ मुड़कर 800 मी. चलता है। (पूर्व से बाएँ मुड़ना उत्तर दिशा में जाना है)
  • अंतिम स्थिति: $(1100, -400 + 800) = (1100, 400)$ मी.

अंतिम स्थिति $(x_f, y_f) = (1100, 400)$ मी. है।
प्रारंभिक स्थिति $(x_i, y_i) = (0,0)$ मी. है।

X-अक्ष पर कुल विस्थापन: $x_f - x_i = 1100 - 0 = 1100$ मी. (पूर्व दिशा में)
Y-अक्ष पर कुल विस्थापन: $y_f - y_i = 400 - 0 = 400$ मी. (उत्तर दिशा में)

सबसे कम दूरी (विस्थापन का परिमाण) $d$ निम्न सूत्र से ज्ञात की जाती है:

$$d = \sqrt{(\text{X-अक्ष पर विस्थापन})^2 + (\text{Y-अक्ष पर विस्थापन})^2}$$ $$d = \sqrt{(1100)^2 + (400)^2}$$ $$d = \sqrt{1210000 + 160000}$$ $$d = \sqrt{1370000}$$ $$d = \sqrt{137 \times 10000}$$ $$d = 100\sqrt{137} \text{ मी.}$$

$\sqrt{137}$ का मान लगभग 11.704 होता है।

$$d \approx 100 \times 11.704 = 1170.4 \text{ मी.}$$

चूंकि अंतिम स्थिति $(1100, 400)$ है, जो धनात्मक X और धनात्मक Y चतुर्थांश में है, इसलिए दिशा उत्तर-पूर्व है।

गणना की गई दूरी लगभग 1170.4 मी. है और दिशा उत्तर-पूर्व है।

दिए गए विकल्प हैं:
(A) 500 मी., उत्तर-पूर्व
(B) 500 मी., दक्षिण
(C) 800 मी., दक्षिण-पश्चिम
(D) 800 मी., दक्षिण

हमारे द्वारा गणना की गई दिशा "उत्तर-पूर्व" विकल्प (A) में दी गई दिशा से मेल खाती है। हालांकि, गणना की गई दूरी $100\sqrt{137}$ मी. (लगभग 1170.4 मी.) विकल्प (A) में दी गई दूरी 500 मी. से मेल नहीं खाती है। अन्य सभी विकल्पों में दिशा गलत है। चूंकि केवल विकल्प (A) में सही दिशा दी गई है, इसलिए यह सबसे संभावित उत्तर है, भले ही दूरी में विसंगति हो।

The final answer is $\boxed{\text{A}}$