यदि a = 2i – 16j + 5k तथा b = 3i + j + 2k, तो सदिश c का अस्तित्व इस प्रकार है कि सदिश a, b, c एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं को निरूपित करें, तो सदिश c है –

हमें दो सदिश दिए गए हैं:

हमें एक सदिश $\vec{c}$ ज्ञात करना है ताकि $\vec{a}$, $\vec{b}$ और $\vec{c}$ एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं को निरूपित करें।

दो सदिशों के बीच का कोण ज्ञात करने के लिए हम उनके अदिश गुणनफल (dot product) का उपयोग करते हैं। यदि अदिश गुणनफल शून्य है, तो सदिश लंबवत होते हैं।

चूंकि $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ है, सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ एक दूसरे के लंबवत हैं। इसका अर्थ है कि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ समकोण त्रिभुज की दो लंबवत भुजाएँ (legs) हैं।

यदि तीन सदिश $\vec{a}$, $\vec{b}$ और $\vec{c}$ एक त्रिभुज की भुजाओं को निरूपित करते हैं, तो उनका सदिश योग शून्य होना चाहिए (यदि उन्हें क्रम में लिया जाए):

इससे हमें $\vec{c}$ का मान मिलता है:

चूंकि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ लंबवत हैं, $\vec{c}$ कर्ण (hypotenuse) होना चाहिए। इसलिए, $|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 = |\vec{c}|^2$ होना चाहिए।
$|\vec{a}|^2 = 2^2 + (-16)^2 + 5^2 = 4 + 256 + 25 = 285$
$|\vec{b}|^2 = 3^2 + 1^2 + 2^2 = 9 + 1 + 4 = 14$
$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 = 285 + 14 = 299$
हमारे द्वारा प्राप्त $\vec{c}$ के लिए:
$|\vec{c}|^2 = (-5)^2 + (15)^2 + (-7)^2 = 25 + 225 + 49 = 299$
यह पुष्टि करता है कि $\vec{c}$ कर्ण है।

हमें $\vec{c} = -5\hat{i} + 15\hat{j} - 7\hat{k}$ प्राप्त हुआ है, जो विकल्प (4) से मेल खाता है।

The final answer is $\text{(4) } -5\hat{i} + 15\hat{j} - 7\hat{k}$.