A function f(t) of period 2π, is symmetrical at (0,0) and is defined by f(t)=t for 0 <= t <= π/2 and f(t)=π-t for π/2 <= t <= π.

Step 1: Tambua taarifa iliyotolewa. Kazi $f(t)$ ina kipindi cha $2\pi$. Imefafanuliwa kwa $0 \le t \le \pi$ kama: $f(t) = \begin{cases} t & kwa 0 \le t \le \frac{\pi}{2} \\ \pi - t & kwa \frac{\pi}{2} \le t \le \pi \end{cases}$ Pia imeelezwa kuwa kazi hiyo ina symmetry kwenye asili $(0,0)$. Hii inamaanisha kuwa $f(t)$ ni kazi isiyo ya kawaida (odd function), hivyo $f(-t) = -f(t)$.

Step 2: Tumia sifa ya kazi isiyo ya kawaida (odd function) kufafanua $f(t)$ kwa $t \in [-\pi, 0]$. Kwa kuwa $f(t)$ ni kazi isiyo ya kawaida, tunaweza kutumia $f(-t) = -f(t)$ kupata maadili yake kwa $t$ hasi.

• Kwa $t \in [-\frac{\pi}{2}, 0]$: Hebu $u = -t$. Basi $u \in [0, \frac{\pi}{2}]$. Kutoka kwenye ufafanuzi uliotolewa, $f(u) = u$. Kwa hiyo, $f(t) = f(-u) = -f(u) = -u = -(-t) = t$.

• Kwa $t \in [-\pi, -\frac{\pi}{2}]$: Hebu $u = -t$. Basi $u \in [\frac{\pi}{2}, \pi]$. Kutoka kwenye ufafanuzi uliotolewa, $f(u) = \pi - u$. Kwa hiyo, $f(t) = f(-u) = -f(u) = -(\pi - u) = -\pi + u = -\pi + (-t) = -\pi - t$.

Step 3: Toa ufafanuzi kamili wa $f(t)$ kwa kipindi kimoja, kwa mfano, $t \in [-\pi, \pi]$. Kazi $f(t)$ imefafanuliwa kikamilifu kama: f(t) = \begin{cases -\pi - t & kwa -\pi \le t \le -\frac{\pi}{2} \\ t & kwa -\frac{\pi}{2} \le t \le \frac{\pi}{2} \\ \pi - t & kwa \frac{\pi}{2} \le t \le \pi \end{cases} } Na kwa sababu ni kazi ya kipindi $2\pi$, tuna $f(t+2\pi) = f(t)$ kwa $t \in \mathbb{R}$. Kazi hii ni kazi isiyo ya kawaida (odd function).

Tuma swali linalofuata 📸