A sector of 270° is removed from a thin circular sheet of metal. The remaining area is then folded to form a right circular cone. Calculate the height of the cone.

Le rayon de la feuille circulaire ($L$) devient la hauteur oblique ($l$) du cône, donc $l = 12$ cm.
Un secteur de $275^\circ$ est retiré, donc l'angle du secteur restant est :

$$\theta = 360^\circ - 275^\circ = 85^\circ$$

La longueur de l'arc du secteur restant devient la circonférence de la base du cône.
La formule de la longueur d'arc est $Arc = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi l$.
La circonférence de la base du cône est $C = 2\pi r$.
En égalisant les deux :

$$2\pi r = \frac{85}{360} \times 2\pi (12)$$ $$r = \frac{85}{360} \times 12$$ $$r = \frac{1020}{360}$$ $$r = \frac{17}{6} \text{ cm}$$ $$r \approx 2,8333 \text{ cm}$$

Nous utilisons le théorème de Pythagore pour un cône droit : $l^2 = h^2 + r^2$.

$$h^2 = l^2 - r^2$$ $$h^2 = (12)^2 - \left(\frac{17}{6}\right)^2$$ $$h^2 = 144 - \frac{289}{36}$$

Pour soustraire, nous mettons les termes sur un dénominateur commun :

$$h^2 = \frac{144 \times 36}{36} - \frac{289}{36}$$ $$h^2 = \frac{5184 - 289}{36}$$ $$h^2 = \frac{4895}{36}$$ $$h = \sqrt{\frac{4895}{36}}$$ $$h = \frac{\sqrt{4895}}{6} \text{ cm}$$ $$h \approx \frac{69,9643}{6}$$ $$\boxed{h \approx 11,6607 \text{ cm}}$$

La formule du volume d'un cône est $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$.
On nous demande d'utiliser $\pi = \frac{22}{7}$.

$$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times \left(\frac{17}{6}\right)^2 \times \frac{\sqrt{4895}}{6}$$ $$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{289}{36} \times \frac{\sqrt{4895}}{6}$$ $$V = \frac{22 \times 289 \times \sqrt{4895}}{3 \times 7 \times 36 \times 6}$$ $$V = \frac{6358 \times \sqrt{4895}}{4536}$$ $$V \approx \frac{6358 \times 69,9643}{4536}$$ $$V \approx \frac{444826,96}{4536}$$ $$\boxed{V \approx 98,066 \text{ cm}^3}$$