"Ataovy corrigé feno ity exercice matematika ity. Valio tsikelikely (étape par étape) ny fanontaniana rehetra. Asehoy ny calcul rehetra, hazavao ny formule ampiasaina, ary soraty mazava ny valiny. Rehefa vita izany dia traceo amin'ny sary mazava ny courbe, asehoy ny tangente, ny axes, ny points remarquables, ny asymptotes raha misy, ary ny tableau de variation. Ataovy mifanaraka amin'ny programme Terminale Madagascar, ary ataovy toy ny corrigé officiel." Ataovy avokoa ny formule sy ny tableau de signe raha tafiditra ao ireto zavatra manaraka ireto: Equatio premier ,2and degrés (forme, résolution, étude de signe). Ensemble de définition(fonction polynôme et rationnelle) Formule derrive. Raha suite sy probabilité dia ataovy mazava tsara étape par étape mihintsy ny formule. Tohizo'. Raha misy sary na graphique ilaina dia ataovy mazava sy voamarika tsara fa aza mihandry ahy miteny tohizo.

Andao hovaliana ity laza adina matematika ity araka ny fenitra ofisialy sy amin'ny antsipiriany.

---

EXERCICE 1 (05 points)

Dinihina ny suite numérique $(U_n)_{n \in \mathbb{N}}$ faritana amin'ny alalan'ny $U_0 = 1$ sy ny fifandraisana $3U_{n+1} - U_n = 2(U_n - 3)$ ho an'ny $n \in \mathbb{N}$ rehetra.

1) a) Démontrer que $(U_n)$ est une suite arithmétique de raison $r = -2$.

Dingana 1: Amboarina ny fifandraisana mba hahazoana an'i $U_{n+1}$ amin'ny $U_n$.

$$3U_{n+1} - U_n = 2(U_n - 3)$$ $$3U_{n+1} - U_n = 2U_n - 6$$

Dingana 2: Afindra ny $U_n$ eo amin'ny ilany havanana.

$$3U_{n+1} = 2U_n + U_n - 6$$ $$3U_{n+1} = 3U_n - 6$$

Dingana 3: Zaraina 3 ny lafiny roa.

$$U_{n+1} = \frac{3U_n - 6}{3}$$ $$U_{n+1} = U_n - 2$$

Dingana 4: Kajiana ny fahasamihafana $U_{n+1} - U_n$.

$$U_{n+1} - U_n = -2$$

Famaritana: Ny suite $(U_n)$ dia arithmetika raha toa ka ny fahasamihafana eo amin'ny terme roa misesy dia constante. Io constante io no antsoina hoe raison $r$.
Fehiny: Koa satria $U_{n+1} - U_n = -2$ ho an'ny $n \in \mathbb{N}$ rehetra, dia $\boxed{(U_n) \text{ dia suite arithmetika manana raison } r = -2}$.

1) b) Préciser la variation de $(U_n)$.

Famaritana:

• Raha $r > 0$, ny suite dia miakatra (croissante).
• Raha $r < 0$, ny suite dia midina (décroissante).
• Raha $r = 0$, ny suite dia constante. Dingana 1: Dinihina ny raison $r$. Efa hitantsika fa $r = -2$.

Dingana 2: Tsoahina ny fiovan'ny suite.
Koa satria $r = -2 < 0$, dia $\boxed{(U_n) \text{ dia suite arithmetika midina (strictement décroissante)}}$.

1) c) Exprimer $U_n$ en fonction de $n$.

Famaritana: Ny terme général an'ny suite arithmetika dia $U_n = U_p + (n-p)r$. Raha $p=0$, dia $U_n = U_0 + nr$.
Dingana 1: Ampiasaina ny formule an'ny terme général.
Fantatra fa $U_0 = 1$ ary $r = -2$.

$$U_n = U_0 + nr$$ $$U_n = 1 + n(-2)$$

Fehiny: Noho izany, $\boxed{U_n = 1 - 2n}$.

1) d) Exprimer en fonction de $n$ la somme $S_n = U_0 + U_1 + \dots + U_n$. En déduire $S_{99}$.

Famaritana: Ny somme an'ny terme $n+1$ voalohany amin'ny suite arithmetika dia $S_n = (n+1) \frac{U_0 + U_n}{2}$.
Dingana 1: Soratana ny $S_n$ amin'ny $n$.

$$S_n = (n+1) \frac{U_0 + U_n}{2}$$

Soloy ny $U_0 = 1$ sy $U_n = 1 - 2n$.

$$S_n = (n+1) \frac{1 + (1 - 2n)}{2}$$ $$S_n = (n+1) \frac{2 - 2n}{2}$$ $$S_n = (n+1) \frac{2(1 - n)}{2}$$

Fehiny: Noho izany, $\boxed{S_n = (n+1)(1-n)}$.

Dingana 2: Kajiana ny $S_{99}$.
Ampiasaina ny formule $S_n = (n+1)(1-n)$ ary soloy $n=99$.

$$S_{99} = (99+1)(1-99)$$ $$S_{99} = (100)(-98)$$

Fehiny: Noho izany, $\boxed{S_{99} = -9800}$.

2) On considère la suite $(V_n)$ définie par $V_n = 3e^{U_n}$ pour tout entier naturel $n$.

2) a) Calculer $V_0$ et $V_1$.

Dingana 1: Kajiana ny $V_0$.
Ampiasaina ny $V_n = 3e^{U_n}$ ary $U_0 = 1$.

$$V_0 = 3e^{U_0} = 3e^1$$

Fehiny: Noho izany, $\boxed{V_0 = 3e}$.

Dingana 2: Kajiana ny $V_1$.
Mila kajiana aloha ny $U_1$.
$U_1 = U_0 + r = 1 + (-2) = -1$.
Ampiasaina ny $V_n = 3e^{U_n}$ ary $U_1 = -1$.

$$V_1 = 3e^{U_1} = 3e^{-1}$$

Fehiny: Noho izany, $\boxed{V_1 = 3e^{-1} = \frac{3}{e}}$.

2) b) Montrer que $(V_n)$ est une suite géométrique dont on précisera sa raison.

Famaritana: Ny suite $(V_n)$ dia géometrika raha toa ka ny tahan'ny terme roa misesy dia constante. Io constante io no antsoina hoe raison $q$.
Dingana 1: Kajiana ny tahan'ny $\frac{V_{n+1}}{V_n}$.

$$V_{n+1} = 3e^{U_{n+1}}$$ $$V_n = 3e^{U_n}$$ $$\frac{V_{n+1}}{V_n} = \frac{3e^{U_{n+1}}}{3e^{U_n}} = e^{U_{n+1} - U_n}$$

Dingana 2: Soloy ny $U_{n+1} - U_n$.
Efa fantatra fa $U_{n+1} - U_n = r = -2$.

$$\frac{V_{n+1}}{V_n} = e^{-2}$$

Fehiny: Koa satria $\frac{V_{n+1}}{V_n} = e^{-2}$ dia constante ho an'ny $n \in \mathbb{N}$ rehetra, dia $\boxed{(V_n) \text{ dia suite géometrika manana raison } q = e^{-2}}$.

---

EXERCICE 2 (05 points)

Misy urne iray misy boules 12 tsy azo avahana amin'ny fikasihana:

• 6 boules fotsy (B) misy isa: 0, 1, 1, 1, 1, 2
• 4 boules maitso (V) misy isa: 1, 1, 2, 3
• 2 boules mainty (N) misy isa: 1, 2

Totalin'ny boules: $6+4+2 = 12$.

1) On tire simultanément et au hasard 3 boules de l'urne.

Famaritana: Ny fisintonana miaraka (simultanément) dia midika fa tsy misy filaharana ny fisintonana, ka ny combinaison no ampiasaina.
Dingana 1: Kajiana ny isan'ny cas possibles (totalin'ny fomba fisintonana 3 boules amin'ny 12).

$$\text{Card}(\Omega) = \binom{12}{3} = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 2 \times 11 \times 10 = 220$$

Noho izany, $\text{Card}(\Omega) = 220$.

1) a) Calculer la probabilité de l'événement A: "avoir une somme de numéros égale à 5".

Dingana 1: Tanisaina ny isan'ny boules isaky ny isa:

• Isa 0: 1 boule (fotsy)
• Isa 1: 7 boules (4 fotsy, 2 maitso, 1 mainty)
• Isa 2: 3 boules (1 fotsy, 1 maitso, 1 mainty)
• Isa 3: 1 boule (maitso)

Dingana 2: Tanisaina ny fitambarana isa 3 izay manome 5:

• (0, 2, 3):
  • 1 boule misy isa 0: $\binom{1}{1}$ fomba.
  • 1 boule misy isa 2: $\binom{3}{1}$ fomba.
  • 1 boule misy isa 3: $\binom{1}{1}$ fomba.
  • Isan'ny fomba: $\binom{1}{1} \times \binom{3}{1} \times \binom{1}{1} = 1 \times 3 \times 1 = 3$.
• (1, 1, 3):
  • 2 boules misy isa 1: $\binom{7}{2}$ fomba.
  • 1 boule misy isa 3: $\binom{1}{1}$ fomba.
  • Isan'ny fomba: $\binom{7}{2} \times \binom{1}{1} = \frac{7 \times 6}{2} \times 1 = 21 \times 1 = 21$.
• (1, 2, 2):
  • 1 boule misy isa 1: $\binom{7}{1}$ fomba.
  • 2 boules misy isa 2: $\binom{3}{2}$ fomba.
  • Isan'ny fomba: $\binom{7}{1} \times \binom{3}{2} = 7 \times \frac{3 \times 2}{2} = 7 \times 3 = 21$.

Dingana 3: Kajiana ny isan'ny cas favorables ho an'ny A.

$$\text{Card}(A) = 3 + 21 + 21 = 45$$

Dingana 4: Kajiana ny probabilité $P(A)$.

$$P(A) = \frac{\text{Card}(A)}{\text{Card}(\Omega)} = \frac{45}{220}$$

Atao tsotra amin'ny fizarana 5:

$$P(A) = \frac{9}{44}$$

Fehiny: Noho izany, $\boxed{P(A) = \frac{9}{44}}$.

1) b) Calculer la probabilité de l'événement B: "avoir exactement deux boules de même couleurs".

Dingana 1: Tanisaina ny isan'ny boules isaky ny loko:

• Boules fotsy (B): 6
• Boules maitso (V): 4
• Boules mainty (N): 2

Dingana 2: Kajiana ny cas favorables ho an'ny B.
Ny "exactement deux boules de même couleur" dia midika hoe:

• (2 fotsy sy 1 tsy fotsy): $\binom{6}{2} \times \binom{6}{1}$
  • $\binom{6}{2} = \frac{6 \times 5}{2} = 15$.
  • $\binom{6}{1} = 6$ (boules tsy fotsy: 4 maitso + 2 mainty = 6).
  • Isan'ny fomba: $15 \times 6 = 90$.
• (2 maitso sy 1 tsy maitso): $\binom{4}{2} \times \binom{8}{1}$
  • $\binom{4}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = 6$.
  • $\binom{8}{1} = 8$ (boules tsy maitso: 6 fotsy + 2 mainty = 8).
  • Isan'ny fomba: $6 \times 8 = 48$.
• (2 mainty sy 1 tsy mainty): $\binom{2}{2} \times \binom{10}{1}$
  • $\binom{2}{2} = 1$.
  • $\binom{10}{1} = 10$ (boules tsy mainty: 6 fotsy + 4 maitso = 10).
  • Isan'ny fomba: $1 \times 10 = 10$.

Dingana 3: Kajiana ny isan'ny cas favorables ho an'ny B.

$$\text{Card}(B) = 90 + 48 + 10 = 148$$

Dingana 4: Kajiana ny probabilité $P(B)$.

$$P(B) = \frac{\text{Card}(B)}{\text{Card}(\Omega)} = \frac{148}{220}$$

Atao tsotra amin'ny fizarana 4:

$$P(B) = \frac{37}{55}$$

Fehiny: Noho izany, $\boxed{P(B) = \frac{37}{55}}$.

1) c) Calculer la probabilité de l'événement C: "avoir un produit de numéros nul".

Famaritana: Ny produit dia nul raha toa ka misy boule iray farafahakeliny manana isa 0.
Dingana 1: Fantarina ny isan'ny boule misy isa 0.
Misy boule 1 ihany misy isa 0 (fotsy).

Dingana 2: Kajiana ny cas favorables ho an'ny C.
Mba hahazoana produit nul, dia tsy maintsy misintona ilay boule misy isa 0.
Koa satria misintona boules 3, dia:

• Misintona ilay boule 0: $\binom{1}{1}$ fomba.
• Misintona boules 2 hafa amin'ny boules 11 sisa: $\binom{11}{2}$ fomba.

$$\text{Card}(C) = \binom{1}{1} \times \binom{11}{2} = 1 \times \frac{11 \times 10}{2} = 1 \times 55 = 55$$

Dingana 3: Kajiana ny probabilité $P(C)$.

$$P(C) = \frac{\text{Card}(C)}{\text{Card}(\Omega)} = \frac{55}{220}$$

Atao tsotra amin'ny fizarana 55:

$$P(C) = \frac{1}{4}$$

Fehiny: Noho izany, $\boxed{P(C) = \frac{1}{4}}$.

2) Maintenant, on tire successivement et sans remise 3 boules de l'urne.

Famaritana: Ny fisintonana misesy sy tsy misy famerenana (successivement et sans remise) dia midika fa misy filaharana ny fisintonana, ka ny arrangement no ampiasaina.
Dingana 1: Kajiana ny isan'ny cas possibles (totalin'ny fomba fisintonana 3 boules amin'ny 12).

$$\text{Card}(\Omega') = A_{12}^3 = 12 \times 11 \times 10 = 1320$$

2) a) Vérifier que le nombre de cas possibles est égal à 1320.

Fehiny: Efa voakajy teo ambony fa $\text{Card}(\Omega') = 12 \times 11 \times 10 = \boxed{1320}$. Voamarina izany.

2) b) Calculer la probabilité de l'événement D: "avoir exactement une boule noire".

Dingana 1: Fantarina ny isan'ny boules mainty sy tsy mainty.

• Boules mainty (N): 2
• Boules tsy mainty ($\bar{N}$): 10

Dingana 2: Kajiana ny cas favorables ho an'ny D.
Ny "exactement une boule noire" dia midika hoe misintona boule mainty 1 sy boules tsy mainty 2.
Misy fomba 3 ahafahan'ny boule mainty miseho:

• N $\bar{N}$ $\bar{N}$:
  • Safidy ho an'ny toerana 1 (mainty): $A_2^1 = 2$ fomba.
  • Safidy ho an'ny toerana 2 (tsy mainty): $A_{10}^1 = 10$ fomba.
  • Safidy ho an'ny toerana 3 (tsy mainty): $A_9^1 = 9$ fomba.
  • Isan'ny fomba: $2 \times 10 \times 9 = 180$.
• $\bar{N}$ N $\bar{N}$:
  • Safidy ho an'ny toerana 1 (tsy mainty): $A_{10}^1 = 10$ fomba.
  • Safidy ho an'ny toerana 2 (mainty): $A_2^1 = 2$ fomba.
  • Safidy ho an'ny toerana 3 (tsy mainty): $A_9^1 = 9$ fomba.
  • Isan'ny fomba: $10 \times 2 \times 9 = 180$.
• $\bar{N}$ $\bar{N}$ N:
  • Safidy ho an'ny toerana 1 (tsy mainty): $A_{10}^1 = 10$ fomba.
  • Safidy ho an'ny toerana 2 (tsy mainty): $A_9^1 = 9$ fomba.
  • Safidy ho an'ny toerana 3 (mainty): $A_2^1 = 2$ fomba.
  • Isan'ny fomba: $10 \times 9 \times 2 = 180$.

Dingana 3: Kajiana ny isan'ny cas favorables ho an'ny D.

$$\text{Card}(D) = 180 + 180 + 180 = 540$$

Na amin'ny fomba hafa: $\binom{3}{1}$ toerana ho an'ny boule mainty, $A_2^1$ fomba hisafidianana ny boule mainty, ary $A_{10}^2$ fomba hisafidianana ny boules tsy mainty 2.

$$\text{Card}(D) = \binom{3}{1} \times A_2^1 \times A_{10}^2 = 3 \times 2 \times (10 \times 9) = 6 \times 90 = 540$$

Dingana 4: Kajiana ny probabilité $P(D)$.

$$P(D) = \frac{\text{Card}(D)}{\text{Card}(\Omega')} = \frac{540}{1320}$$

Atao tsotra amin'ny fizarana 60:

$$P(D) = \frac{9}{22}$$

Fehiny: Noho izany, $\boxed{P(D) = \frac{9}{22}}$.

---

PROBLEME (10 points)

Dinihina ny asa $f$ faritana amin'ny $I = ]0; +\infty[$ amin'ny alalan'ny $f(x) = 3 + 2\ln x - (\ln x)^2$.
Marihina amin'ny $(C)$ ny sariny ao anaty repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$, miaraka amin'ny singa 1 cm.

1) a) Calculer la limite de $f$ en 0. Interpréter géométriquement le résultat.

Dingana 1: Kajiana ny fetran'ny $\ln x$ rehefa $x \to 0^+$.

$$\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$$

Dingana 2: Soloy ny $\ln x$ amin'ny $u$ ary kajiana ny fetran'ny $f(x)$.
Aoka $u = \ln x$. Rehefa $x \to 0^+$, dia $u \to -\infty$.

$$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{u \to -\infty} (3 + 2u - u^2)$$

Ny terme ambony indrindra amin'ny polynôme dia $-u^2$.

$$\lim_{u \to -\infty} (3 + 2u - u^2) = \lim_{u \to -\infty} (-u^2) = -\infty$$

Fehiny: Noho izany, $\boxed{\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty}$.

Dingana 3: Adika ara-grafika ny vokatra.
Famaritana: Raha toa ka $\lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty$, dia ny tsipika mahitsy $x=a$ dia asymptote verticale (asymptote verticale) ho an'ny sarin'ny asa $(C)$.
Adika: Koa satria $\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty$, dia ny tsipika mahitsy $\boxed{x=0 \text{ (axe des ordonnées) dia asymptote verticale ho an'ny }(C)}$.

1) b) Vérifier que, pour tout $x \in I$, $f(x)$ peut s'écrire sous la forme: $f(x) = 3 + (2 - \ln x) \ln x$.

Dingana 1: Avohana ny endrika faharoa.

$$3 + (2 - \ln x) \ln x = 3 + 2\ln x - (\ln x)(\ln x)$$ $$= 3 + 2\ln x - (\ln x)^2$$

Dingana 2: Ampitahaina amin'ny $f(x)$ voalohany.
Hitantsika fa mitovy amin'ny $f(x)$ ny valiny.
Fehiny: Noho izany, voamarina fa $\boxed{f(x) = 3 + (2 - \ln x) \ln x}$.

1) c) En déduire la limite de $f$ en $+\infty$.

Dingana 1: Kajiana ny fetran'ny $\ln x$ rehefa $x \to +\infty$.

$$\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$$

Dingana 2: Soloy ny $\ln x$ amin'ny $u$ ary kajiana ny fetran'ny $f(x)$.
Aoka $u = \ln x$. Rehefa $x \to +\infty$, dia $u \to +\infty$.

$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{u \to +\infty} (3 + 2u - u^2)$$

Ny terme ambony indrindra amin'ny polynôme dia $-u^2$.

$$\lim_{u \to +\infty} (3 + 2u - u^2) = \lim_{u \to +\infty} (-u^2) = -\infty$$

Fehiny: Noho izany, $\boxed{\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty}$.

2) Montrer que, pour tout $x \in I$, $f'(x) = \frac{2(1-\ln x)}{x}$.

Famaritana: Ny formule an'ny dérivée ampiasaina:

• $(c)' = 0$ (c dia constante)
• $(c \cdot u(x))' = c \cdot u'(x)$
• $(\ln x)' = \frac{1}{x}$
• $(u(x)^n)' = n \cdot u(x)^{n-1} \cdot u'(x)$

Dingana 1: Soratana ny $f(x)$ ary kajiana ny dérivée isaky ny terme.

$$f(x) = 3 + 2\ln x - (\ln x)^2$$ $$f'(x) = (3)' + (2\ln x)' - ((\ln x)^2)'$$

Dingana 2: Kajiana ny dérivée an'ny terme tsirairay.

• $(3)' = 0$.
• $(2\ln x)' = 2 \times (\ln x)' = 2 \times \frac{1}{x} = \frac{2}{x}$.
• $((\ln x)^2)' = 2 \times (\ln x)^{2-1} \times (\ln x)' = 2\ln x \times \frac{1}{x} = \frac{2\ln x}{x}$.

Dingana 3: Atambatra ny dérivée.

$$f'(x) = 0 + \frac{2}{x} - \frac{2\ln x}{x}$$ $$f'(x) = \frac{2 - 2\ln x}{x}$$ $$f'(x) = \frac{2(1 - \ln x)}{x}$$

Fehiny: Noho izany, voaporofo fa $\boxed{f'(x) = \frac{2(1-\ln x)}{x}}$.

3) a) Résoudre dans $I$ l'équation $1 - \ln x = 0$.

Dingana 1: Amboarina ny équation.

$$1 - \ln x = 0$$ $$\ln x = 1$$

Dingana 2: Ampiasaina ny famaritana an'ny logarithme.
Raha $\ln x = a$, dia $x = e^a$.

$$x = e^1$$ $$x = e$$

Fehiny: Ny vahaolana amin'ny équation dia $\boxed{x = e}$.

3) b) En déduire le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variation de $f$.

Dingana 1: Dinihina ny famantarana ny $f'(x)$.

$$f'(x) = \frac{2(1 - \ln x)}{x}$$

Ho an'ny $x \in ]0; +\infty[$:

• Ny $x$ dia positif foana.
• Ny 2 dia positif foana. Koa satria ny famantarana ny $f'(x)$ dia miankina amin'ny famantarana ny $(1 - \ln x)$.

Dingana 2: Dinihina ny famantarana ny $(1 - \ln x)$.

• $1 - \ln x > 0 \implies \ln x < 1 \implies x < e$.
• $1 - \ln x < 0 \implies \ln x > 1 \implies x > e$.
• $1 - \ln x = 0 \implies x = e$.

Dingana 3: Tsoahina ny fiovan'ny $f$.

• Raha $x \in ]0; e[$, $f'(x) > 0$, ka $f$ dia miakatra (croissante).
• Raha $x \in ]e; +\infty[$, $f'(x) < 0$, ka $f$ dia midina (décroissante).
• Eo amin'ny $x=e$, $f'(x) = 0$, ka misy extremum (maximum) eo.

Dingana 4: Kajiana ny sary amin'ny $x=e$.

$$f(e) = 3 + 2\ln e - (\ln e)^2 = 3 + 2(1) - (1)^2 = 3 + 2 - 1 = 4$$

Dingana 5: Atambatra ny tableau de variation.

$x$	0	$e$	$+\infty$
$1 - \ln x$		$+$	0	$-$
$x$	0	$+$		$+$
$f'(x)$		$+$	0	$-$
Fiovan'ny $f(x)$	$-\infty$	$\nearrow$	4	$\searrow$
				$-\infty$

4) Calculer $f(\frac{1}{e})$ et $f(e^3)$. Que peut-on en conclure pour $(C)$?

Dingana 1: Kajiana ny $f(\frac{1}{e})$.
Fantatra fa $\ln(\frac{1}{e}) = -\ln e = -1$.

$$f\left(\frac{1}{e}\right) = 3 + 2\ln\left(\frac{1}{e}\right) - \left(\ln\left(\frac{1}{e}\right)\right)^2$$ $$f\left(\frac{1}{e}\right) = 3 + 2(-1) - (-1)^2$$ $$f\left(\frac{1}{e}\right) = 3 - 2 - 1 = 0$$

Fehiny: Noho izany, $\boxed{f\left(\frac{1}{e}\right) = 0}$.

Dingana 2: Kajiana ny $f(e^3)$.
Fantatra fa $\ln(e^3) = 3\ln e = 3$.

$$f(e^3) = 3 + 2\ln(e^3) - (\ln(e^3))^2$$ $$f(e^3) = 3 + 2(3) - (3)^2$$ $$f(e^3) = 3 + 6 - 9 = 0$$

Fehiny: Noho izany, $\boxed{f(e^3) = 0}$.

Dingana 3: Tsoahina ny conclusion ho an'ny $(C)$.
Koa satria $f(\frac{1}{e}) = 0$ sy $f(e^3) = 0$, dia midika izany fa ny courbe $(C)$ dia mandalo amin'ny axe des abscisses (x-axis) eo amin'ny point roa: $\boxed{\left(\frac{1}{e}, 0\right) \text{ sy } (e^3, 0)}$. Ireo no racines an'ny $f(x)$.

5) Ecrire une équation de la tangente $(T)$ à la courbe $(C)$ au point A d'abscisse $\frac{1}{e}$.

Famaritana: Ny équation de la tangente $(T)$ amin'ny $(C)$ eo amin'ny point d'abscisse $x_0$ dia:

$$y = f'(x_0)(x-x_0) + f(x_0)$$

Eto, $x_0 = \frac{1}{e}$.

Dingana 1: Kajiana ny $f(x_0)$.
Efa voakajy teo aloha fa $f\left(\frac{1}{e}\right) = 0$.

Dingana 2: Kajiana ny $f'(x_0)$.
Ampiasaina ny $f'(x) = \frac{2(1-\ln x)}{x}$.

$$f'\left(\frac{1}{e}\right) = \frac{2\left(1-\ln\left(\frac{1}{e}\right)\right)}{\frac{1}{e}}$$ $$f'\left(\frac{1}{e}\right) = \frac{2(1-(-1))}{\frac{1}{e}}$$ $$f'\left(\frac{1}{e}\right) = \frac{2(2)}{\frac{1}{e}} = \frac{4}{\frac{1}{e}} = 4e$$

Dingana 3: Soloy ny soatoavina ao anaty formule an'ny tangente.

$$y = 4e\left(x-\frac{1}{e}\right) + 0$$ $$y = 4ex - 4e \times \frac{1}{e}$$ $$y = 4ex - 4$$

Fehiny: Noho izany, ny équation de la tangente $(T)$ dia $\boxed{y = 4ex - 4}$.

6) Recopier et compléter le tableau suivant à $10^{-2}$ près.

Dingana 1: Kajiana ny $\ln x$ ho an'ny soatoavina $x$ tsirairay.

• $\ln(\frac{1}{4}) = -\ln 4 \approx -1,386$
• $\ln(\frac{1}{2}) =