This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
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यहाँ दिए गए प्रश्न के तीनों भागों को सिद्ध किया गया है: दिया है: दो वृत्त C_1 और C_2 हैं जिनके केंद्र क्रमशः O_1 और O_2 हैं। ये वृत्त एक दूसरे को बिंदुओं A और B पर काटते हैं। रेखाखंड O_1O_2 रेखाखंड AB को बिंदु M पर काटता है। --- a) O_1AO_2 = O_1BO_2 सिद्ध करें। (यहाँ '=' का अर्थ सर्वांगसम '' है) Step 1: भुजाओं की पहचान करें। वृत्त C_1 के लिए: O_1A और O_1B त्रिज्याएँ हैं। O_1A = O_1B वृत्त C_2 के लिए: O_2A और O_2B त्रिज्याएँ हैं। O_2A = O_2B दोनों त्रिभुजों O_1AO_2 और O_1BO_2 में O_1O_2 एक उभयनिष्ठ भुजा है। O_1O_2 = O_1O_2 Step 2: सर्वांगसमता नियम लागू करें। चूंकि तीनों संगत भुजाएँ बराबर हैं, इसलिए SSS (भुजा-भुजा-भुजा) सर्वांगसमता नियम से: O_1AO_2 O_1BO_2 यह सिद्ध हुआ। सिद्ध हुआ --- b) AB का मध्य बिंदु M है, सिद्ध करें। Step 1: भाग (a) के परिणाम का उपयोग करें। हमने भाग (a) में सिद्ध किया है कि O_1AO_2 O_1BO_2. सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं (CPCTC)। इसलिए, AO_1O_2 = BO_1O_2. यह भी लिखा जा सकता है: AO_1M = BO_1M. Step 2: त्रिभुजों AO_1M और BO_1M पर विचार करें। • O_1A = O_1B (वृत्त C_1 की त्रिज्याएँ) • AO_1M = BO_1M (Step 1 से) • O_1M = O_1M (उभयनिष्ठ भुजा) Step 3: सर्वांगसमता नियम लागू करें। SAS (भुजा-कोण-भुजा) सर्वांगसमता नियम से: AO_1M BO_1M Step 4: CPCTC का उपयोग करें। सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं (CPCTC)। इसलिए, AM = BM. चूंकि AM = BM, बिंदु M रेखाखंड AB का मध्य बिंदु है। सिद्ध हुआ --- c) AB O_1O_2 सिद्ध करें। Step 1: भाग (b) के परिणाम का उपयोग करें। हमने भाग (b) में सिद्ध किया है कि AO_1M BO_1M. सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं (CPCTC)। इसलिए, AMO_1 = BMO_1. Step 2: रैखिक युग्म के कोणों पर विचार करें। कोण AMO_1 और BMO_1 रेखा AB पर एक रैखिक युग्म बनाते हैं। इसलिए, उनका योग 180^ होता है: AMO_1 + BMO_1 = 180^ Step 3: कोणों का मान ज्ञात करें। चूंकि AMO_1 = BMO_1 और उनका योग 180^ है, तो प्रत्येक कोण 90^ होना चाहिए: AMO_1 = BMO_1 = (180^)/(2) = 90^ Step 4: निष्कर्ष निकालें। चूंकि AMO_1 = 90^, इसका अर्थ है कि रेखाखंड AB रेखाखंड O_1O_2 पर लंबवत है। AB O_1O_2 यह सिद्ध हुआ। सिद्ध हुआ