दो वृत्त C1 और C2 एक दूसरे को A और B पर काटते हैं। O1 और O2 उनके केंद्र हैं। सिद्ध करें कि riangle O1AO2 riangle O1BO2 के सर्वांगसम है और M, AB का मध्य बिंदु है।

वृत्त $C_1$ के लिए: $O_1A$ और $O_1B$ त्रिज्याएँ हैं।

वृत्त $C_2$ के लिए: $O_2A$ और $O_2B$ त्रिज्याएँ हैं।

दोनों त्रिभुजों $\triangle O_1AO_2$ और $\triangle O_1BO_2$ में $O_1O_2$ एक उभयनिष्ठ भुजा है।

चूंकि तीनों संगत भुजाएँ बराबर हैं, इसलिए SSS (भुजा-भुजा-भुजा) सर्वांगसमता नियम से:

यह सिद्ध हुआ।
$\boxed{\text{सिद्ध हुआ}}$

हमने भाग (a) में सिद्ध किया है कि $\triangle O_1AO_2 \cong \triangle O_1BO_2$.
सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं (CPCTC)।
इसलिए, $\angle AO_1O_2 = \angle BO_1O_2$.
यह भी लिखा जा सकता है: $\angle AO_1M = \angle BO_1M$.

• $O_1A = O_1B$ (वृत्त $C_1$ की त्रिज्याएँ)
• $\angle AO_1M = \angle BO_1M$ (Step 1 से)
• $O_1M = O_1M$ (उभयनिष्ठ भुजा)

SAS (भुजा-कोण-भुजा) सर्वांगसमता नियम से:

सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं (CPCTC)।
इसलिए, $AM = BM$.
चूंकि $AM = BM$, बिंदु M रेखाखंड AB का मध्य बिंदु है।
$\boxed{\text{सिद्ध हुआ}}$

हमने भाग (b) में सिद्ध किया है कि $\triangle AO_1M \cong \triangle BO_1M$.
सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं (CPCTC)।
इसलिए, $\angle AMO_1 = \angle BMO_1$.

कोण $\angle AMO_1$ और $\angle BMO_1$ रेखा AB पर एक रैखिक युग्म बनाते हैं।
इसलिए, उनका योग $180^\circ$ होता है:

चूंकि $\angle AMO_1 = \angle BMO_1$ और उनका योग $180^\circ$ है, तो प्रत्येक कोण $90^\circ$ होना चाहिए:

चूंकि $\angle AMO_1 = 90^\circ$, इसका अर्थ है कि रेखाखंड AB रेखाखंड $O_1O_2$ पर लंबवत है।

यह सिद्ध हुआ।
$\boxed{\text{सिद्ध हुआ}}$