Calcula el área total y el volumen de un cubo, un tetraedro y un octaedro de aristas 3 cm, 5 cm y 7 cm respectivamente.

La fórmula para el área total de un cubo con arista $a$ es $A_t = 6a^2$.

$$A_t = 6 \times (3 \text{ cm})^2$$ $$A_t = 6 \times 9 \text{ cm}^2$$ $$A_t = 54 \text{ cm}^2$$

La fórmula para el volumen de un cubo con arista $a$ es $V = a^3$.

$$V = (3 \text{ cm})^3$$ $$V = 27 \text{ cm}^3$$

El área total es $\boxed{54 \text{ cm}^2}$ y el volumen es $\boxed{27 \text{ cm}^3}$.

La fórmula para el área total de un tetraedro regular con arista $a$ es $A_t = \sqrt{3}a^2$.

$$A_t = \sqrt{3} \times (5 \text{ cm})^2$$ $$A_t = \sqrt{3} \times 25 \text{ cm}^2$$ $$A_t = 25\sqrt{3} \text{ cm}^2$$

La fórmula para el volumen de un tetraedro regular con arista $a$ es $V = \frac{a^3}{6\sqrt{2}}$.

$$V = \frac{(5 \text{ cm})^3}{6\sqrt{2}}$$ $$V = \frac{125 \text{ cm}^3}{6\sqrt{2}}$$

Para racionalizar el denominador, multiplicamos por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$:

$$V = \frac{125\sqrt{2}}{6 \times 2} \text{ cm}^3$$ $$V = \frac{125\sqrt{2}}{12} \text{ cm}^3$$

El área total es $\boxed{25\sqrt{3} \text{ cm}^2}$ y el volumen es $\boxed{\frac{125\sqrt{2}}{12} \text{ cm}^3}$.

La fórmula para el área total de un octaedro regular con arista $a$ es $A_t = 2\sqrt{3}a^2$.

$$A_t = 2\sqrt{3} \times (2 \text{ cm})^2$$ $$A_t = 2\sqrt{3} \times 4 \text{ cm}^2$$ $$A_t = 8\sqrt{3} \text{ cm}^2$$

La fórmula para el volumen de un octaedro regular con arista $a$ es $V = \frac{\sqrt{2}}{3}a^3$.

$$V = \frac{\sqrt{2}}{3} \times (2 \text{ cm})^3$$ $$V = \frac{\sqrt{2}}{3} \times 8 \text{ cm}^3$$ $$V = \frac{8\sqrt{2}}{3} \text{ cm}^3$$

El área total es $\boxed{8\sqrt{3} \text{ cm}^2}$ y el volumen es $\boxed{\frac{8\sqrt{2}}{3} \text{ cm}^3}$.