Correction mathématiques

$$
-2x + 3 < 9
$$
$$
-2x < 9 - 3
$$
$$
-2x < 6
$$

$a$ est le plus petit entier relatif vérifiant $-2a + 3 < 9$. D'après la question précédente, cela signifie $a > -3$. Les entiers relatifs supérieurs à $-3$ sont $-2, -1, 0, 1, \dots$. Le plus petit de ces entiers est $-2$.  
Donc, $a = -2$.

On a $b = -\frac{1}{2}|a| + 3$. En remplaçant $a$ par $-2$:
$$
b = -\frac{1}{2}|-2| + 3
$$
$$
b = -\frac{1}{2}(2) + 3
$$
$$
b = -1 + 3
$$
$$
b = 2
$$

Les coordonnées de $P$ sont $(a; b)$. Avec $a = -2$ et $b = 2$, les coordonnées de $P$ sont $(-2; 2)$.  
$\boxed{a = -2, b = 2 \text{ et } P(-2; 2)}$

Le repère est $(O, \vec{I}, \vec{J})$. Dans ce contexte, $I$ est souvent le point de coordonnées $(1; 0)$. Le point $P$ a pour coordonnées $(-2; 2)$.

$$
m = \frac{y_P - y_I}{x_P - x_I} = \frac{2 - 0}{-2 - 1} = \frac{2}{-3} = -\frac{2}{3}
$$

En utilisant le point $I(1; 0)$:
$$
y - y_I = m(x - x_I)
$$
$$
y - 0 = -\frac{2}{3}(x - 1)
$$
$$
y = -\frac{2}{3}x + \frac{2}{3}
$$
Multiplions toute l'équation par 3 pour éliminer les fractions :
$$
3y = -2x + 2
$$
Réarrangeons les termes pour obtenir la forme $Ax + By + C = 0$:
$$
2x + 3y - 2 = 0
$$
L'équation de la droite $(IP)$ est bien $2x + 3y - 2 = 0$.  
$\boxed{\text{L'équation de la droite }(IP) \text{ est } 2x + 3y - 2 = 0}$

On a $\vec{OQ} = q\vec{OT} - 3\vec{OJ}$. Dans le repère $(O, \vec{I}, \vec{J})$, $\vec{OT}$ est le vecteur unitaire sur l'axe des abscisses, donc $\vec{OT} = (1; 0)$. $\vec{OJ}$ est le vecteur unitaire sur l'axe des ordonnées, donc $\vec{OJ} = (0; 1)$.
$$
\vec{OQ} = q(1; 0) - 3(0; 1)
$$
$$
\vec{OQ} = (q; 0) - (0; 3)
$$
$$
\vec{OQ} = (q; -3)
$$
Les coordonnées du point $Q$ sont $(q; -3)$.

Le point $Q(q; -3)$ appartient à la droite $(IP)$ dont l'équation est $2x + 3y - 2 = 0$. Substituons les coordonnées de $Q$ dans l'équation :
$$
2(q) + 3(-3) - 2 = 0
$$
$$
2q - 9 - 2 = 0
$$
$$
2q - 11 = 0
$$
$$
2q = 11
$$
$$
q = \frac{11}{2}
$$

En remplaçant $q$ par $\frac{11}{2}$, les coordonnées de $Q$ sont $\left(\frac{11}{2}; -3\right)$.  
$\boxed{Q\left(\frac{11}{2}; -3\right)}$

$$
(12u + v) - (8u + v) = 232 - 712
$$
$$
4u = -480
$$

$$
u = \frac{-480}{4}
$$
$$
u = -120
$$

$$
8(-120) + v = 712
$$
$$
-960 + v = 712
$$
$$
v = 712 + 960
$$
$$
v = 1672
$$
La solution du système est $(u; v) = (-120; 1672)$.  
$\boxed{u = -120, v = 1672}$

L'énoncé indique que $f(t)$ est une application affine, donc de la forme $f(t) = ut + v$. Les conditions $f(8) = 712$ et $f(12) = 232$ mènent au système d'équations résolu à la question 5. Les valeurs trouvées $u = -120$ et $v = 1672$ confirment que $f(t) = -120t + 1672$.

Le réservoir est plein à l'instant initial, $t = 0$. Le volume initial est donc $f(0)$.
$$
f(0) = -120(0) + 1672
$$
$$
f(0) = 1672
$$
Le volume du réservoir est $V = 1672 \text{ m}^3$.  
$\boxed{f(t) = -120t + 1672 \text{ et } V = 1672 \text{ m}^3}$

$$
T = (k+3)(9k^2 - 4)
$$

$9k^2 - 4 = (3k)^2 - 2^2 = (3k - 2)(3k + 2)$.
$$
T = (k+3)(3k - 2)(3k + 2)
$$
$\boxed{T = (k+3)(3k - 2)(3k + 2)}$

**b. Déduire en que $k = \frac{2}{3}$.**  
L'énoncé du problème 2 précise que l'échelle de réduction $k$ est telle que $9k^2(k+3) - 4(k+3) = 0$ avec $0 < k < 1$.

$$
(k+3)(3k - 2)(3k + 2) = 0
$$
Les solutions sont $k+3 = 0 \Rightarrow k = -3$, ou $3k - 2 = 0 \Rightarrow k = \frac{2}{3}$, ou $3k + 2 = 0 \Rightarrow k = -\frac{2}{3}$.

Parmi les solutions $-3$, $\frac{2}{3}$, et $-\frac{2}{3}$, seule $k = \frac{2}{3}$ satisfait la condition $0 < k < 1$.  
$\boxed{k = \frac{2}{3}}$

Le volume d'un cône est $V_{cône} = \frac{1}{3}\pi R^2 H$.  
Le rayon de la petite base est $r' = kR = \frac{2}{3} \times 6 = 4 \text{ m}$.  
La hauteur du petit cône coupé est $h' = kH$.  
Le volume du tronc de cône est $V_{tronc} = \frac{1}{3}\pi R^2 H - \frac{1}{3}\pi (r')^2 h' = \frac{1}{3}\pi R^2 H - \frac{1}{3}\pi (kR)^2 (kH) = \frac{1}{3}\pi R^2 H (1 - k^3)$.

On a $V_{tronc} = 1672 \text{ m}^3$, $R = 6 \text{ m}$, $k = \frac{2}{3}$, $\pi = \frac{22}{7}$.
$$
1672 = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (6)^2 \times H \left(1 - \left(\frac{2}{3}\right)^3\right)
$$
$$
1672 = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 36 \times H \left(1 - \frac{8}{27}\right)
$$
$$
1672 = \frac{22 \times 12}{7} \times H \left(\frac{19}{27}\right)
$$
$$
1672 = \frac{264}{7} \times H \times \frac{19}{27}
$$
$$
1672 = \frac{5016}{189} \times H
$$
$$
H = 1672 \times \frac{189}{5016} = 63 \text{ m}
$$
$H$ est la hauteur du grand cône d'origine.

La hauteur du petit cône coupé est $h' = kH = \frac{2}{3} \times 63 = 42 \text{ m}$.  
La hauteur du réservoir est la différence entre la hauteur du grand cône et celle du petit cône :
$$
h_{réservoir} = H - h' = 63 - 42 = 21 \text{ m}
$$
$\boxed{\text{La hauteur du réservoir est } 21 \text{ m}}$

Le triangle $ABC$ est inscrit dans le demi-cercle $(C_1)$ de diamètre $[AC]$. Par conséquent, l'angle $\widehat{ABC}$ est un angle droit, $\widehat{ABC} = 90^\circ$.  
Le triangle $CDE$ est inscrit dans le demi-cercle $(C_2)$ de diamètre $[CE]$. Par conséquent, l'angle $\widehat{CDE}$ est un angle droit, $\widehat{CDE} = 90^\circ$.

Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles. La droite $(AC)$ est une sécante. Donc, les angles alternes-internes $\widehat{BAC}$ et $\widehat{DCE}$ sont égaux.

Les triangles $ABC$ et $CDE$ ont deux paires d'angles égaux ($\widehat{ABC} = \widehat{CDE} = 90^\circ$ et $\widehat{BAC} = \widehat{DCE}$). Par conséquent, les triangles $ABC$ et $CDE$ sont semblables.  
$\boxed{\text{Les triangles } ABC \text{ et } CDE \text{ sont semblables.}}$

Puisque les triangles $ABC$ et $CDE$ sont semblables (question 9), le rapport de leurs côtés correspondants est constant :
$$
\frac{CD}{AB} = \frac{DE}{BC} = \frac{CE}{AC}
$$

$(C_1)$ est un demi-cercle de centre $E$ et de diamètre $[AC]$. Cela signifie que $E$ est le milieu du segment $[AC]$.  
Donc, $AC = 2 \times CE$, ce qui implique $CE = \frac{1}{2} AC$.

$$
\frac{CD}{AB} = \frac{CE}{AC} = \frac{CE}{2CE} = \frac{1}{2}
$$
Donc, $\frac{CD}{AB} = \frac{1}{2}$.  
$\boxed{\frac{CD}{AB} = \frac{1}{2}}$

Considérons les triangles $ABF$ et $CDF$.  
Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles. Les droites $(AD)$ et $(BC)$ sont sécantes en $F$.  
D'après le théorème de Thalès (ou en montrant que les triangles $ABF$ et $DCF$ sont semblables car ils ont des angles alternes-internes égaux et des angles opposés par le sommet égaux), on a :
$$
\frac{CF}{BF} = \frac{DF}{AF} = \frac{CD}{AB}
$$
Donc, $\frac{CF}{AF} = \frac{CD}{AB}$.

D'après la question 10, nous savons que $\frac{CD}{AB} = \frac{1}{2}$.  
En combinant avec le résultat précédent :
$$
\frac{CF}{AF} = \frac{1}{2}
$$
En multipliant en croix, on obtient :
$$
AF = 2 \times CF
$$
$\boxed{\frac{CF}{AF} = \frac{CD}{AB} \text{ et } AF = 2CF}$