The set of all points of discontinuity of f(x) = x - [x] where [x] is the greatest integer function.

फलन $f(x) = x - \lfloor x \rfloor$ दिया गया है, जहाँ $\lfloor x \rfloor$ महत्तम पूर्णांक फलन है।

Step 1: फलन की प्रकृति को समझें। फलन $f(x) = x - \lfloor x \rfloor$ को भिन्नात्मक भाग फलन (fractional part function) भी कहते हैं, जिसे $\{x\}$ से दर्शाया जाता है। हम जानते हैं कि $y=x$ फलन सभी वास्तविक संख्याओं के लिए सतत (continuous) होता है। महत्तम पूर्णांक फलन $y=\lfloor x \rfloor$ सभी पूर्णांक बिंदुओं पर असतत (discontinuous) होता है।

Step 2: पूर्णांक बिंदुओं पर असततता की जाँच करें। किसी भी पूर्णांक $n$ पर फलन की असततता की जाँच करते हैं। बायां सीमा (Left-hand limit): $\lim_{x \to n^-} f(x) = \lim_{x \to n^-} (x - \lfloor x \rfloor)$ जब $x$, $n$ के बाईं ओर से $n$ की ओर अग्रसर होता है (जैसे $n-0.001$), तो $\lfloor x \rfloor = n-1$ होता है। इसलिए, $\lim_{x \to n^-} (x - \lfloor x \rfloor) = n - (n-1) = 1$ दायां सीमा (Right-hand limit): $\lim_{x \to n^+} f(x) = \lim_{x \to n^+} (x - \lfloor x \rfloor)$ जब $x$, $n$ के दाईं ओर से $n$ की ओर अग्रसर होता है (जैसे $n+0.001$), तो $\lfloor x \rfloor = n$ होता है। इसलिए, $\lim_{x \to n^+} (x - \lfloor x \rfloor) = n - n = 0$ फलन का मान $x=n$ पर: $f(n) = n - \lfloor n \rfloor = n - n = 0$ चूंकि बायां सीमा ($1$) दायां सीमा ($0$) के बराबर नहीं है, इसलिए फलन $f(x)$ सभी पूर्णांक बिंदुओं पर असतत है।

Step 3: गैर-पूर्णांक बिंदुओं पर सततता की जाँच करें। किसी भी गैर-पूर्णांक बिंदु $c$ के लिए, एक पूर्णांक $n$ ऐसा होता है कि $n < c < n+1$। इस अंतराल $(n, n+1)$ में, $\lfloor x \rfloor = n$ (एक स्थिर मान) होता है। तो, इस अंतराल में $f(x) = x - n$ होता है। चूंकि $y=x$ सतत है और $y=n$ (एक स्थिरांक) भी सतत है, इसलिए उनका अंतर $f(x) = x-n$ अंतराल $(n, n+1)$ में सतत होगा। अतः, फलन सभी गैर-पूर्णांक बिंदुओं पर सतत है।

Step 4: असततता के बिंदुओं का समुच्चय निर्धारित करें। उपरोक्त विश्लेषण से, फलन $f(x) = x - \lfloor x \rfloor$ केवल पूर्णांक बिंदुओं पर असतत है। अतः, असततता के सभी बिंदुओं का समुच्चय सभी पूर्णांकों का समुच्चय है।

असततता के बिंदुओं का समुच्चय है: $\boxed{\mathbb{Z}}$

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