The set of all points of discontinuity of f(x) = x - [x] where [x] is the greatest integer function.

फलन $f(x) = x - \lfloor x \rfloor$ को भिन्नात्मक भाग फलन (fractional part function) भी कहते हैं, जिसे $\{x\}$ से दर्शाया जाता है।
हम जानते हैं कि $y=x$ फलन सभी वास्तविक संख्याओं के लिए सतत (continuous) होता है।
महत्तम पूर्णांक फलन $y=\lfloor x \rfloor$ सभी पूर्णांक बिंदुओं पर असतत (discontinuous) होता है।

किसी भी पूर्णांक $n$ पर फलन की असततता की जाँच करते हैं।
बायां सीमा (Left-hand limit):

जब $x$, $n$ के बाईं ओर से $n$ की ओर अग्रसर होता है (जैसे $n-0.001$), तो $\lfloor x \rfloor = n-1$ होता है।
इसलिए,

दायां सीमा (Right-hand limit):

जब $x$, $n$ के दाईं ओर से $n$ की ओर अग्रसर होता है (जैसे $n+0.001$), तो $\lfloor x \rfloor = n$ होता है।
इसलिए,

फलन का मान $x=n$ पर:

चूंकि बायां सीमा (1) दायां सीमा (0) के बराबर नहीं है, इसलिए फलन $f(x)$ सभी पूर्णांक बिंदुओं पर असतत है।

किसी भी गैर-पूर्णांक बिंदु $c$ के लिए, एक पूर्णांक $n$ ऐसा होता है कि $n < c < n+1$।
इस अंतराल $(n, n+1)$ में, $\lfloor x \rfloor = n$ (एक स्थिर मान) होता है।
तो, इस अंतराल में $f(x) = x - n$ होता है।
चूंकि $y=x$ सतत है और $y=n$ (एक स्थिरांक) भी सतत है, इसलिए उनका अंतर $f(x) = x-n$ अंतराल $(n, n+1)$ में सतत होगा।
अतः, फलन सभी गैर-पूर्णांक बिंदुओं पर सतत है।

उपरोक्त विश्लेषण से, फलन $f(x) = x - \lfloor x \rfloor$ केवल पूर्णांक बिंदुओं पर असतत है।
अतः, असततता के सभी बिंदुओं का समुच्चय सभी पूर्णांकों का समुच्चय है।

असततता के बिंदुओं का समुच्चय है: $\mathbb{Z}$