The set of all points of discontinuity of f(x) = x - [x] where [x] is the greatest integer function.

फलन f(x) = x - x दिया गया है, जहाँ x महत्तम पूर्णांक फलन है। Step 1: फलन की प्रकृति को समझें। फलन f(x) = x - x को भिन्नात्मक भाग फलन (fractional part function) भी कहते हैं, जिसे \x\ से दर्शाया जाता है। हम जानते हैं कि y=x फलन सभी वास्तविक संख्याओं के लिए सतत (continuous) होता है। महत्तम पूर्णांक फलन y= x सभी पूर्णांक बिंदुओं पर असतत (discontinuous) होता है। Step 2: पूर्णांक बिंदुओं पर असततता की जाँच करें। किसी भी पूर्णांक n पर फलन की असततता की जाँच करते हैं। बायां सीमा (Left-hand limit): _x n^- f(x) = _x n^- (x - x ) जब x, n के बाईं ओर से n की ओर अग्रसर होता है (जैसे n-0.001), तो x = n-1 होता है। इसलिए, _x n^- (x - x ) = n - (n-1) = 1 दायां सीमा (Right-hand limit): _x n^+ f(x) = _x n^+ (x - x ) जब x, n के दाईं ओर से n की ओर अग्रसर होता है (जैसे n+0.001), तो x = n होता है। इसलिए, _x n^+ (x - x ) = n - n = 0 फलन का मान x=n पर: f(n) = n - n = n - n = 0 चूंकि बायां सीमा (1) दायां सीमा (0) के बराबर नहीं है, इसलिए फलन f(x) सभी पूर्णांक बिंदुओं पर असतत है। Step 3: गैर-पूर्णांक बिंदुओं पर सततता की जाँच करें। किसी भी गैर-पूर्णांक बिंदु c के लिए, एक पूर्णांक n ऐसा होता है कि n < c < n+1। इस अंतराल (n, n+1) में, x = n (एक स्थिर मान) होता है। तो, इस अंतराल में f(x) = x - n होता है। चूंकि y=x सतत है और y=n (एक स्थिरांक) भी सतत है, इसलिए उनका अंतर f(x) = x-n अंतराल (n, n+1) में सतत होगा। अतः, फलन सभी गैर-पूर्णांक बिंदुओं पर सतत है। Step 4: असततता के बिंदुओं का समुच्चय निर्धारित करें। उपरोक्त विश्लेषण से, फलन f(x) = x - x केवल पूर्णांक बिंदुओं पर असतत है। अतः, असततता के सभी बिंदुओं का समुच्चय सभी पूर्णांकों का समुच्चय है। असततता के बिंदुओं का समुच्चय है: Z अगला प्रश्न भेजें 📸