Écrire le numéro de chaque énoncé, suivi de la lettre correspondant à la bonne réponse.

"Si $f$ est une fonction non définie en $a$, et admettant une limite finie en $a$, alors $f$ n'est pas prolongeable par continuité en $a$."

• Si $\lim_{x \to a} f(x) = L$ (où $L$ est un nombre fini) et que $f(a)$ n'est pas définie, alors la fonction $f$ est prolongeable par continuité en $a$ en définissant $f(a) = L$. L'affirmation est donc fausse.
• Réponse : Faux

"Si une fonction $g$ est strictement croissante et majorée sur l'intervalle $]a, b]$, alors la limite de $g$ à gauche en $b$ est égale au majorant donné."

• Si une fonction est strictement croissante et majorée sur un intervalle, alors sa limite à l'extrémité supérieure de l'intervalle existe et est finie. Cette limite est égale à la borne supérieure (le plus petit des majorants) de la fonction sur cet intervalle, et non à n'importe quel majorant donné. L'affirmation est donc fausse.
• Réponse : Faux

"Dans un repère orthonormé $(O, \vec{I}, \vec{J})$, si $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 0$, alors la courbe de $f$ admet en $+\infty$ une branche parabolique de direction celle de $(OJ)$."

• Lorsque $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 0$, la courbe de $f$ admet une branche parabolique de direction l'axe des abscisses (l'axe $(OI)$). Une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées (l'axe $(OJ)$) correspondrait à $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \pm \infty$. L'affirmation est donc fausse.
• Réponse : Faux

"Le nombre $\frac{\sqrt{1024} \times \sqrt[4]{64}}{\sqrt{256}}$ est égal à $8\sqrt{2}$."

• Calculons la valeur de l'expression :
  • $\sqrt{1024} = 32$
  • $\sqrt[4]{64} = \sqrt[4]{2^6} = 2^{6/4} = 2^{3/2} = \sqrt{2^3} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
  • $\sqrt{256} = 16$
• Substituons ces valeurs dans l'expression : $$\frac{\sqrt{1024} \times \sqrt[4]{64}}{\sqrt{256}} = \frac{32 \times 2\sqrt{2}}{16} = \frac{64\sqrt{2}}{16} = 4\sqrt{2}$$
• Puisque $4\sqrt{2} \neq 8\sqrt{2}$, l'affirmation est fausse.
• Réponse : Faux

"Dans l'espace muni d'un repère $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère $A(0, -1, 2)$, $B(3, 5, -1)$ et $C(8, -5, -2)$. Les coordonnées du barycentre de $(A, -1)$, $(B, 1)$, $(C, -1)$ sont :"

• Soient les points $A(0, -1, 2)$, $B(3, 5, -1)$, $C(8, -5, -2)$ et les coefficients $\alpha = -1$, $\beta = 1$, $\gamma = -1$.
• La somme des coefficients est $S = \alpha + \beta + \gamma = -1 + 1 - 1 = -1$.
• Les coordonnées du barycentre $G(x_G, y_G, z_G)$ sont données par : $$x_G = \frac{\alpha x_A + \beta x_B + \gamma x_C}{S} = \frac{(-1)(0) + (1)(3) + (-1)(8)}{-1} = \frac{0 + 3 - 8}{-1} = \frac{-5}{-1} = 5$$ $$y_G = \frac{\alpha y_A + \beta y_B + \gamma y_C}{S} = \frac{(-1)(-1) + (1)(5) + (-1)(-5)}{-1} = \frac{1 + 5 + 5}{-1} = \frac{11}{-1} = -11$$ $$z_G = \frac{\alpha z_A + \beta z_B + \gamma z_C}{S} = \frac{(-1)(2) + (1)(-1) + (-1)(-2)}{-1} = \frac{-2 - 1 + 2}{-1} = \frac{-1}{-1} = 1$$
• Les coordonnées du barycentre sont donc $G(5, -11, 1)$.
• En comparant avec les options proposées : A: $(0; 11; -1)$ B: $(0; -11; 1)$ C: $(3; -5; 10)$
• Aucune des options ne correspond exactement à notre calcul $(5, -11, 1)$. Il semble y avoir une erreur dans les options fournies. Cependant, si nous devions choisir l'option la plus proche, l'option B a les mêmes coordonnées $y$ et $z$ que notre résultat, mais une coordonnée $x$ différente. Étant donné l'instruction de choisir parmi les options, et constatant une incohérence, je dois signaler que le calcul ne mène à aucune des options. Si l'on suppose une erreur de transcription et que la coordonnée $x$ de $G$ était 0, alors B serait la réponse. Sans cette supposition, aucune option n'est correcte. Je vais indiquer l'option B en soulignant la divergence.
• Réponse : B (avec la remarque que $x_G$ calculé est 5 et non 0)

"Soit A et B deux points distincts du plan. L'ensemble des points M du plan tels que $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0$ est :"

• La condition $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0$ signifie que les vecteurs $\vec{MA}$ et $\vec{MB}$ sont orthogonaux. Géométriquement, cela signifie que le triangle $AMB$ est rectangle en $M$. L'ensemble des points $M$ tels que l'angle $\widehat{AMB}$ est droit est le cercle de diamètre $[AB]$.
• Réponse : C. Un cercle

"Soit G le barycentre de $(A, 2)$, $(B, 2)$ et $(C, 1)$. Si H est le milieu de $[BC]$, alors G est :"

• $G$ est le barycentre de $(A, 2)$, $(B, 2)$, $(C, 1)$.
• $H$ est le milieu de $[BC]$, ce qui signifie que $H$ est le barycentre de $(B, 1)$ et $(C, 1)$.
• Nous pouvons utiliser la propriété d'associativité des barycentres. On peut réécrire les poids de $B$ et $C$ pour faire apparaître $H$.
• $G = \text{barycentre}((A, 2), (B, 2), (C, 1))$.
• On peut écrire $2\vec{GA} + 2\vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}$.
• Puisque $H$ est le milieu de $[BC]$, on a $\vec{HB} + \vec{HC} = \vec{0}$.
• Substituons $\vec{GB} = \vec{GH} + \vec{HB}$ et $\vec{GC} = \vec{GH} + \vec{HC}$ dans l'équation de $G$ : $$2\vec{GA} + 2(\vec{GH} + \vec{HB}) + (\vec{GH} + \vec{HC}) = \vec{0}$$ $$2\vec{GA} + 2\vec{GH} + 2\vec{HB} + \vec{GH} + \vec{HC} = \vec{0}$$ $$2\vec{GA} + 3\vec{GH} + (2\vec{HB} + \vec{HC}) = \vec{0}$$
• Comme $\vec{HC} = -\vec{HB}$, l'expression entre parenthèses devient $2\vec{HB} - \vec{HB} = \vec{HB}$.
• Donc, nous avons $2\vec{GA} + 3\vec{GH} + \vec{HB} = \vec{0}$.
• Ceci peut être réécrit comme $2\vec{AG} = 3\vec{GH} + \vec{HB}$.
• Pour que $G$ soit le milieu de $[AH]$, il faudrait que $2\vec{GA} + 2\vec{GH} = \vec{0}$, ce qui n'est pas le cas ici.
• Cependant, si on considère $G$ comme le barycentre de $(A,2)$ et $(H', 3)$ où $H'$ est le barycentre de $(B,2)$ et $(C,1)$, ce n'est pas $H$.
• Reprenons l'expression $2\vec{GA} + 3\vec{GH} + \vec{HB} = \vec{0}$.
• On peut écrire $2\vec{GA} + 3\vec{GH} + (\vec{HA} + \vec{AB}) = \vec{0}$ ou $2\vec{GA} + 3\vec{GH} + (\vec{GB} - \vec{GH}) = \vec{0}$.
• La question est formulée de manière à ce que la réponse soit une position simple de $G$ par rapport à $A$ et $H$.
• Si $G$ était le milieu de $[AH]$, alors $G = \text{barycentre}((A,1), (H,1))$. Puisque $H = \text{barycentre}((B,1), (C,1))$, cela donnerait $G = \text{barycentre}((A,1), (B,1), (C,1))$. Or, le $G$ donné est $\text{barycentre}((A,2), (B,2), (C,1))$. Ces deux barycentres ne sont pas les mêmes.
• Il semble y avoir une erreur dans l'énoncé ou les options, car aucune des options simples (milieu de $AH$, $BH$, $AB$) ne correspond au calcul direct.
• Cependant, dans le contexte des QCM, il est possible qu'une simplification soit attendue ou qu'il y ait une erreur dans les coefficients. Si l'on considère le cas où $G$ est le barycentre de $(A,2), (B,2), (C,2)$, alors $G$ serait le centre de gravité du triangle $ABC$. Si $H$ est le milieu de $BC$, alors $G$ serait sur la médiane $AH$ et $\vec{AG} = \frac{2}{3}\vec{AH}$.
• Avec les coefficients donnés $(A,2), (B,2), (C,1)$, $G$ n'est pas le centre de gravité.
• Si l'on considère $G$ comme le barycentre de $(A,2)$ et de $H'$ (barycentre de $(B,2)$ et $(C,1)$), alors $G$ est sur le segment $AH'$.
• Si l'on doit choisir une option, et en l'absence d'une correspondance directe, il est difficile de donner une réponse certaine. Cependant, la question est souvent posée pour des cas où $G$ est le centre de gravité. Si $G$ était le centre de gravité, alors $G$ serait sur $AH$.
• En l'absence d'une option correcte évidente, et pour respecter le format, je dois indiquer que la question est problématique. Si l'on suppose que la question attendait le centre de gravité, alors $G$ serait sur $AH$.
• En reprenant $2\vec{GA} + 3\vec{GH} + \vec{HB} = \vec{0}$, on voit que $G$ n'est pas le milieu de $AH$.
• Il est possible que l'option "Le centre de gravité" soit une option générale pour ce type de question, mais elle n'est pas listée comme A, B ou C. Les options sont "Le milieu de [AH]", "Le milieu de [BH]", "Le milieu de [AB]".
• Aucune de ces options n'est correcte avec les coefficients donnés. Je vais indiquer qu'il n'y a pas de bonne réponse parmi les choix.
• Réponse : Aucune des options A, B, C n'est correcte.

"L'ensemble des barycentres de trois points pondérés non alignés est :"

• Si trois points $A, B, C$ ne sont pas alignés, ils définissent un plan. L'ensemble de tous les barycentres possibles de ces trois points (avec des coefficients $\alpha, \beta, \gamma$ tels que $\alpha+\beta+\gamma \neq 0$) est le plan défini par ces trois points.
• Réponse : B. Le plan (ABC)