Pour chacune des affirmations ci-dessous, trois réponses sont proposées dont une seule est juste. Ecrire sur votre feuille de copie le numéro de l’affirmation suivi de la lettre correspondant à la bonne réponse.

• Option A : $1 - \frac{\ln 5}{\ln 10}$

  $$1 - \frac{\ln 5}{\ln 10} = \frac{\ln 10 - \ln 5}{\ln 10} = \frac{\ln\left(\frac{10}{5}\right)}{\ln 10} = \frac{\ln 2}{\ln 10}$$

  Ceci n'est pas égal à $\ln 2$.

• Option B : $\ln \left(\frac{5}{10}\right)$

  $$\ln \left(\frac{5}{10}\right) = \ln \left(\frac{1}{2}\right) = -\ln 2$$

  Ceci n'est pas égal à $\ln 2$.

• Option C : $\ln 10 - \ln 5$

  $$\ln 10 - \ln 5 = \ln\left(\frac{10}{5}\right) = \ln 2$$

  Ceci est égal à $\ln 2$.

La bonne réponse est donc C.

• Un "groupe d'études" implique que l'ordre des élèves au sein du groupe n'a pas d'importance. Il s'agit donc d'une combinaison.
• On cherche le nombre de façons de choisir 4 élèves parmi 30, sans tenir compte de l'ordre. La formule est $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
• Ici, $n=30$ et $k=4$. Le nombre de groupes est $C_{30}^4$.

La bonne réponse est donc B.

• Pour une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$, le terme de rang $n$ est donné par la formule $u_n = u_0 + n \cdot r$.
• On cherche le $100^e$ terme, ce qui correspond à $u_{99}$ (car le premier terme est $u_0$).
• On a $u_0 = -2$ et $r = \frac{1}{3}$.
• Calculons $u_{99}$ : $$u_{99} = u_0 + 99 \cdot r$$ $$u_{99} = -2 + 99 \cdot \frac{1}{3}$$ $$u_{99} = -2 + 33$$ $$u_{99} = 31$$

La bonne réponse est donc A.

• Soit $z = x + iy$ une racine carrée de $-2i$. Alors $z^2 = -2i$.

• $(x + iy)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi$

• En identifiant les parties réelle et imaginaire avec $-2i$ (qui a une partie réelle nulle) :

  1. $x^2 - y^2 = 0 \implies x^2 = y^2 \implies y = x \text{ ou } y = -x$
  2. $2xy = -2 \implies xy = -1$

• Cas 1 : Si $y = x$ Substituons dans $xy = -1$ : $x \cdot x = -1 \implies x^2 = -1$. Cette équation n'a pas de solution réelle pour $x$.

• Cas 2 : Si $y = -x$ Substituons dans $xy = -1$ : $x \cdot (-x) = -1 \implies -x^2 = -1 \implies x^2 = 1$. Cela donne $x = 1$ ou $x = -1$.

  • Si $x = 1$, alors $y = -1$. La première racine est $z_1 = 1 - i$.
  • Si $x = -1$, alors $y = -(-1) = 1$. La deuxième racine est $z_2 = -1 + i$.

La bonne réponse est donc C.

• Il s'agit d'une équation différentielle linéaire homogène du second ordre à coefficients constants.
• L'équation caractéristique associée est $r^2 - 4 = 0$.
• Résolvons cette équation : $$r^2 = 4$$ $$r = \pm\sqrt{4}$$ $$r_1 = 2 \quad \text{et} \quad r_2 = -2$$
• Puisque les racines sont réelles et distinctes, la solution générale est de la forme $y(x) = k_1e^{r_1x} + k_2e^{r_2x}$.
• Donc, la solution générale est $y(x) = k_1e^{2x} + k_2e^{-2x}$.

La bonne réponse est donc C.

• L'expression $|z - i|$ représente la distance entre le point M d'affixe $z$ et le point A d'affixe $i$.
• L'équation $|z - i| = 2$ signifie que la distance entre M et A est égale à 2.
• L'ensemble des points M dont la distance à un point fixe A est constante (égale à 2) est un cercle de centre A et de rayon 2.

La bonne réponse est donc C.