Pour chacune des affirmations ci-dessous, trois réponses sont proposées dont une seule est juste. Ecrire sur votre feuille de copie le numéro de l’affirmation suivi de la lettre correspondant à la bonne réponse.

Voici la correction détaillée de l'exercice 1.

EXERCICE 1 : Questions à choix multiples

1. Parmi les nombres ci contre l'un est égal à $\ln 2$. Il s'agit de ....

   • Option A : $1 - \frac{\ln 5}{\ln 10}$ $1 - \frac{\ln 5}{\ln 10} = \frac{\ln 10 - \ln 5}{\ln 10} = \frac{\ln\left(\frac{10}{5}\right)}{\ln 10} = \frac{\ln 2}{\ln 10}$ Ceci n'est pas égal à $\ln 2$.

   • Option B : $\ln \left(\frac{5}{10}\right)$ $\ln \left(\frac{5}{10}\right) = \ln \left(\frac{1}{2}\right) = -\ln 2$ Ceci n'est pas égal à $\ln 2$.

   • Option C : $\ln 10 - \ln 5$ $\ln 10 - \ln 5 = \ln\left(\frac{10}{5}\right) = \ln 2$ Ceci est égal à $\ln 2$.

   La bonne réponse est donc C.

2. Le nombre de groupes d'études de 4 élèves de TF2 d'une classe de 30 élèves est

   • Un "groupe d'études" implique que l'ordre des élèves au sein du groupe n'a pas d'importance. Il s'agit donc d'une combinaison.
   • On cherche le nombre de façons de choisir 4 élèves parmi 30, sans tenir compte de l'ordre. La formule est $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
   • Ici, $n=30$ et $k=4$. Le nombre de groupes est $C_{30}^4$.

   La bonne réponse est donc B.

3. La suite arithmétique $u$ de premier terme $u_0 = -2$ et de raison $\frac{1}{3}$ a pour $100^e$ terme

   • Pour une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$, le terme de rang $n$ est donné par la formule $u_n = u_0 + n \cdot r$.
   • On cherche le $100^e$ terme, ce qui correspond à $u_{99}$ (car le premier terme est $u_0$).
   • On a $u_0 = -2$ et $r = \frac{1}{3}$.
   • Calculons $u_{99}$ : $u_{99} = u_0 + 99 \cdot r$ $u_{99} = -2 + 99 \cdot \frac{1}{3}$ $u_{99} = -2 + 33$ $u_{99} = 31$

   La bonne réponse est donc A.

4. Les racines carrées du nombre complexe $-2i$ sont

   • Soit $z = x + iy$ une racine carrée de $-2i$. Alors $z^2 = -2i$.

   • $(x + iy)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi$

   • En identifiant les parties réelle et imaginaire avec $-2i$ (qui a une partie réelle nulle) :

     1. $x^2 - y^2 = 0 \implies x^2 = y^2 \implies y = x ou y = -x$
     2. $2xy = -2 \implies xy = -1$

   • Cas 1 : Si $y = x$ Substituons dans $xy = -1$ : $x \cdot x = -1 \implies x^2 = -1$. Cette équation n'a pas de solution réelle pour $x$.

   • Cas 2 : Si $y = -x$ Substituons dans $xy = -1$ : $x \cdot (-x) = -1 \implies -x^2 = -1 \implies x^2 = 1$. Cela donne $x = 1$ ou $x = -1$.

     • Si $x = 1$, alors $y = -1$. La première racine est $z_1 = 1 - i$.
     • Si $x = -1$, alors $y = -(-1) = 1$. La deuxième racine est $z_2 = -1 + i$.

   La bonne réponse est donc C.

5. La solution générale de l'équation différentielle $y'' - 4y = 0$ est

   • Il s'agit d'une équation différentielle linéaire homogène du second ordre à coefficients constants.
   • L'équation caractéristique associée est $r^2 - 4 = 0$.
   • Résolvons cette équation : $r^2 = 4$ $r = \pm\sqrt{4}$ $r_1 = 2 \quad et \quad r_2 = -2$
   • Puisque les racines sont réelles et distinctes, la solution générale est de la forme $y(x) = k_1e^{r_1x} + k_2e^{r_2x}$.
   • Donc, la solution générale est $y(x) = k_1e^{2x} + k_2e^{-2x}$.

   La bonne réponse est donc C.

6. Soit A et B deux points du plan complexe d'affixes respectives $i$ et $2$. L'ensemble des points M(z) tel que $|z - i| = 2$ est

   • L'expression $|z - i|$ représente la distance entre le point M d'affixe $z$ et le point A d'affixe $i$.
   • L'équation $|z - i| = 2$ signifie que la distance entre M et A est égale à 2.
   • L'ensemble des points M dont la distance à un point fixe A est constante (égale à 2) est un cercle de centre A et de rayon 2.

   La bonne réponse est donc C.

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