Pour chaque affirmation, écris le numéro de l'affirmation suivi de la lettre correspondant à la bonne réponse.

L'expression conjuguée de $\sqrt{x^2+x+1} - x$ est $\sqrt{x^2+x+1} + x$.
Multiplions et divisons l'expression par cette conjuguée :

$$\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2+x+1} - x\right) = \lim_{x \to +\infty} \frac{\left(\sqrt{x^2+x+1} - x\right)\left(\sqrt{x^2+x+1} + x\right)}{\sqrt{x^2+x+1} + x}$$

En utilisant l'identité $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, le numérateur devient :

$$(x^2+x+1) - x^2 = x+1$$

Donc, l'expression devient :

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{x+1}{\sqrt{x^2+x+1} + x}$$

Nous avons maintenant une forme indéterminée de type $\frac{\infty}{\infty}$. Pour la lever, nous allons diviser le numérateur et le dénominateur par $x$.
Pour le dénominateur, nous factorisons $x^2$ sous la racine : $\sqrt{x^2+x+1} = \sqrt{x^2\left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)} = |x|\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}$.
Puisque $x \to +\infty$, $x$ est positif, donc $|x|=x$.

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{x+1}{x\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}} + x}$$

Divisons le numérateur et le dénominateur par $x$ :

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{x}{x}+\frac{1}{x}}{\frac{x\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}}{x} + \frac{x}{x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1+\frac{1}{x}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}} + 1}$$

Lorsque $x \to +\infty$, les termes $\frac{1}{x}$ et $\frac{1}{x^2}$ tendent vers 0.

$$\frac{1+0}{\sqrt{1+0+0} + 1} = \frac{1}{\sqrt{1} + 1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$$

La limite est $\frac{1}{2}$.

La bonne réponse est C.

$$\text{C}$$