Define Continuity and Limits - Limits of Polynomial functions - Limits of Linear function - Limits of an irrational function - Limits of L'hopital's rule - Limits of rational function

Voici les définitions et explications demandées :

• Définition de la continuité et des limites

  • La continuité d'une fonction en un point signifie que la fonction est définie en ce point, que sa limite existe en ce point, et que cette limite est égale à la valeur de la fonction en ce point. Graphiquement, une fonction continue peut être tracée sans lever le crayon.
  • La limite d'une fonction décrit le comportement de la fonction lorsque la variable d'entrée s'approche d'une certaine valeur (finie ou infinie).

• Limites des fonctions polynomiales Pour une fonction polynomiale $P(x) = a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0$:

  • En un point fini $c$: La limite est simplement la valeur de la fonction en ce point. $$\lim_{x \to c} P(x) = P(c)$$
  • À l'infini ($\pm \infty$): La limite est celle de son terme de plus haut degré. $$\lim_{x \to \pm \infty} P(x) = \lim_{x \to \pm \infty} a_n x^n$$

• Limites des fonctions linéaires Une fonction linéaire est un cas particulier de fonction polynomiale de degré 1, $f(x) = ax+b$:

  • En un point fini $c$: $$\lim_{x \to c} (ax+b) = ac+b$$
  • À l'infini ($\pm \infty$): $$\lim_{x \to \pm \infty} (ax+b) = \lim_{x \to \pm \infty} ax$$ La limite sera $\pm \infty$ selon le signe de $a$ et la direction de l'infini.

• Limites d'une fonction irrationnelle Une fonction irrationnelle contient une variable sous un radical (par exemple, $\sqrt{x}$).

  • En un point $c$ où la fonction est définie et continue, la limite est obtenue par substitution directe.
  • Si la substitution directe conduit à une forme indéterminée (comme $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$) ou si le point est une borne du domaine de définition, des techniques comme la multiplication par l'expression conjuguée peuvent être utilisées pour simplifier l'expression avant d'évaluer la limite.

• Règle de L'Hôpital La règle de L'Hôpital est utilisée pour évaluer des limites de formes indéterminées $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$. Si $\lim_{x \to c} f(x) = 0$ et $\lim_{x \to c} g(x) = 0$ (ou si les deux tendent vers $\pm \infty$), alors:

  $$\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$

  à condition que la limite du quotient des dérivées existe.

• Limites des fonctions rationnelles Une fonction rationnelle est un quotient de deux polynômes, $R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$:

  • En un point fini $c$ où $Q(c) \neq 0$: $$\lim_{x \to c} \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{P(c)}{Q(c)}$$
  • En un point fini $c$ où $Q(c) = 0$ et $P(c) \neq 0$: La limite est $\pm \infty$, et le signe doit être déterminé en étudiant les limites à gauche et à droite.
  • En un point fini $c$ où $Q(c) = 0$ et $P(c) = 0$: C'est une forme indéterminée $\frac{0}{0}$. On peut factoriser $(x-c)$ au numérateur et au dénominateur, ou utiliser la règle de L'Hôpital.
  • À l'infini ($\pm \infty$): La limite est celle du rapport des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur. $$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{P(x)}{Q(x)} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{a_n x^n}{b_m x^m}$$