E = (4⁻³ x 102)2 x 75⁻³ / 4000⁻¹ x 16

On applique la règle $(ab)^n = a^n b^n$ et $(a^m)^n = a^{mn}$.

$$(4^{-3} \times 10^2)^2 = (4^{-3})^2 \times (10^2)^2 = 4^{-3 \times 2} \times 10^{2 \times 2} = 4^{-6} \times 10^4$$

Le numérateur devient $4^{-6} \times 10^4 \times 75^{-3}$.

On exprime 4000 comme $4 \times 10^3$ et 16 comme $4^2$.

$$4000^{-1} \times 16 = (4 \times 10^3)^{-1} \times 4^2 = 4^{-1} \times (10^3)^{-1} \times 4^2 = 4^{-1} \times 10^{-3} \times 4^2$$

En regroupant les puissances de 4 : $4^{-1} \times 4^2 = 4^{-1+2} = 4^1 = 4$.
Le dénominateur devient $4 \times 10^{-3}$.

On utilise la règle $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

$$E = \left(\frac{4^{-6}}{4^1}\right) \times \left(\frac{10^4}{10^{-3}}\right) \times 75^{-3}$$ $$E = 4^{-6-1} \times 10^{4-(-3)} \times 75^{-3}$$ $$E = 4^{-7} \times 10^{4+3} \times 75^{-3}$$ $$E = 4^{-7} \times 10^7 \times 75^{-3}$$

$75 = 3 \times 25 = 3 \times 5^2$.

$$75^{-3} = (3 \times 5^2)^{-3} = 3^{-3} \times (5^2)^{-3} = 3^{-3} \times 5^{-6}$$

On écrit $4 = 2^2$ et $10 = 2 \times 5$.

$$E = (2^2)^{-7} \times (2 \times 5)^7 \times 3^{-3} \times 5^{-6}$$ $$E = 2^{-14} \times 2^7 \times 5^7 \times 3^{-3} \times 5^{-6}$$

$$E = 2^{-14+7} \times 5^{7-6} \times 3^{-3}$$ $$E = 2^{-7} \times 5^1 \times 3^{-3}$$

$$E = \frac{5}{2^7 \times 3^3}$$

$2^7 = 128$
$3^3 = 27$

$$E = \frac{5}{128 \times 27}$$ $$E = \frac{5}{3456}$$

La valeur de $E$ est :

$$\frac{5}{3456}$$