ecrit l'equation horaire du point mobile. 2) determine l'equation cartesian de sa trajectoire. 3) precise sa…

Question

ecrit l'equation horaire du point mobile. 2) determine l'equation cartesian de sa trajectoire. 3) precise sa nature.

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Voici la résolution de l'activité d'application.

Le vecteur position d'un mobile est donné par :

\vec{OM} = (t^2+3)\vec{i} + (2t-1)\vec{j} + 5\vec{k}

1. Écrire l'équation horaire du point mobile.

Les équations horaires donnent les coordonnées du point M en fonction du temps $t$ .

Identifions les composantes du vecteur position.
$\vec{OM} = x(t)\vec{i} + y(t)\vec{j} + z(t)\vec{k}$
Écrivons les équations horaires en comparant avec l'expression donnée.
$\begin{cases} x(t) = t^2+3 \\ y(t) = 2t-1 \\ z(t) = 5 \end{cases}$
Les équations horaires du point mobile sont :
$\boxed{\begin{cases} x(t) = t^2+3 \\ y(t) = 2t-1 \\ z(t) = 5 \end{cases}}$
2. Déterminer l'équation cartésienne de sa trajectoire.

Pour obtenir l'équation cartésienne, nous devons éliminer le paramètre $t$ des équations horaires.
Exprimons $t$ en fonction de $y$ à partir de la deuxième équation.
$y = 2t-1$ $2t = y+1$ $t = \frac{y+1}{2}$
Substituons cette expression de $t$ dans la première équation ( $x(t)$ ).
$x = \left(\frac{y+1}{2}\right)^2 + 3$ $x = \frac{(y+1)^2}{4} + 3$
Réarrangeons l'équation pour une forme plus standard.
$x - 3 = \frac{(y+1)^2}{4}$ $4(x-3) = (y+1)^2$
L'équation cartésienne de la trajectoire est :
$\boxed{(y+1)^2 = 4(x-3)}$
De plus, la coordonnée $z$ est constante : $z=5$ .

3. Préciser sa nature.
Analysons l'équation cartésienne $(y+1)^2 = 4(x-3)$ .
Cette équation est de la forme $(y-k)^2 = 4p(x-h)$ , qui est l'équation canonique d'une parabole.
Identifions les caractéristiques de la parabole.
Ici, $h=3$ et $k=-1$ . Le sommet de la parabole est donc au point $(3, -1)$ .
Puisque le terme en $y$ est au carré et le terme en $x$ est linéaire, la parabole s'ouvre le long de l'axe des $x$ . Le coefficient $4p=4$ est positif, donc elle s'ouvre vers les $x$ positifs.
Considérons la coordonnée $z$ .
Puisque $z=5$ est une constante, la trajectoire est contenue dans le plan $z=5$ .
La nature de la trajectoire est une parabole située dans le plan $z=5$ .

La nature de la trajectoire est une $\boxed{\text{parabole}}$ .

Ecrit l'equation horaire du point mobile. 2) determine l'equation cartesian de sa trajectoire. 3) precise sa nature.

Step-by-step solution

Identifions les composantes du vecteur position.

Écrivons les équations horaires en comparant avec l'expression donnée.

Exprimons $t$ en fonction de $y$ à partir de la deuxième équation.

Substituons cette expression de $t$ dans la première équation ( $x(t)$ ).

Réarrangeons l'équation pour une forme plus standard.

Analysons l'équation cartésienne $(y+1)^2 = 4(x-3)$ .

Identifions les caractéristiques de la parabole.

Considérons la coordonnée $z$ .

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