Find the equation of tangent and normal to the curve x=4t−1, y=2t2 at the point where t=1.

Le point donné est $(3 ; 0,6)$. Vérifions s'il est sur la courbe $y = \frac{2x}{x^2+1}$.
Pour $x=3$, $y = \frac{2(3)}{3^2+1} = \frac{6}{9+1} = \frac{6}{10} = 0,6$. Le point est bien sur la courbe.

On calcule la dérivée de $y = \frac{2x}{x^2+1}$ en utilisant la règle du quotient $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Soit $u = 2x \implies u' = 2$.
Soit $v = x^2+1 \implies v' = 2x$.

$$\frac{dy}{dx} = \frac{2(x^2+1) - (2x)(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{2x^2+2 - 4x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{2 - 2x^2}{(x^2+1)^2}$$

On substitue $x=3$ dans l'expression de $\frac{dy}{dx}$.

$$m_t = \frac{2 - 2(3)^2}{(3^2+1)^2} = \frac{2 - 2(9)}{(9+1)^2} = \frac{2 - 18}{(10)^2} = \frac{-16}{100} = -\frac{4}{25}$$

L'équation de la tangente est de la forme $y - y_1 = m_t(x - x_1)$.

$$y - 0,6 = -\frac{4}{25}(x - 3)$$ $$y - \frac{3}{5} = -\frac{4}{25}(x - 3)$$

Multiplions par 25 pour éliminer les dénominateurs :

$$25y - 25\left(\frac{3}{5}\right) = -4(x - 3)$$ $$25y - 15 = -4x + 12$$ $$4x + 25y - 15 - 12 = 0$$

L'équation de la tangente est $\boxed{4x + 25y - 27 = 0}$.

La pente de la normale est l'opposé de l'inverse de la pente de la tangente.

$$m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{-4/25} = \frac{25}{4}$$

L'équation de la normale est de la forme $y - y_1 = m_n(x - x_1)$.

$$y - 0,6 = \frac{25}{4}(x - 3)$$ $$y - \frac{3}{5} = \frac{25}{4}(x - 3)$$

Multiplions par 20 pour éliminer les dénominateurs :

$$20y - 20\left(\frac{3}{5}\right) = 20\left(\frac{25}{4}\right)(x - 3)$$ $$20y - 12 = 5 \cdot 25(x - 3)$$ $$20y - 12 = 125(x - 3)$$ $$20y - 12 = 125x - 375$$ $$0 = 125x - 20y - 375 + 12$$

L'équation de la normale est $\boxed{125x - 20y - 363 = 0}$.