This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
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Voici les étapes pour trouver l'équation de la tangente et de la normale. Step 1: Vérifier le point et calculer la dérivée (dy)/(dx) Le point donné est (3 ; 0,6). Vérifions s'il est sur la courbe y = (2x)/(x^2+1). Pour x=3, y = (2(3))/(3^2+1) = (6)/(9+1) = (6)/(10) = 0,6. Le point est bien sur la courbe. On calcule la dérivée de y = (2x)/(x^2+1) en utilisant la règle du quotient ((u)/(v))' = (u'v - uv')/(v^2). Soit u = 2x u' = 2. Soit v = x^2+1 v' = 2x. (dy)/(dx) = (2(x^2+1) - (2x)(2x))/((x^2+1)^2) = (2x^2+2 - 4x^2)/((x^2+1)^2) = (2 - 2x^2)/((x^2+1)^2) Step 2: Calculer la pente de la tangente m_t au point (3 ; 0,6) On substitue x=3 dans l'expression de (dy)/(dx). m_t = (2 - 2(3)^2)/((3^2+1)^2) = (2 - 2(9))/((9+1)^2) = (2 - 18)/((10)^2) = (-16)/(100) = -(4)/(25) Step 3: Trouver l'équation de la tangente L'équation de la tangente est de la forme y - y_1 = m_t(x - x_1). y - 0,6 = -(4)/(25)(x - 3) y - (3)/(5) = -(4)/(25)(x - 3) Multiplions par 25 pour éliminer les dénominateurs : 25y - 25((3)/(5)) = -4(x - 3) 25y - 15 = -4x + 12 4x + 25y - 15 - 12 = 0 L'équation de la tangente est 4x + 25y - 27 = 0. Step 4: Calculer la pente de la normale m_n La pente de la normale est l'opposé de l'inverse de la pente de la tangente. m_n = -(1)/(m_t) = -(1)/(-4/25) = (25)/(4) Step 5: Trouver l'équation de la normale L'équation de la normale est de la forme y - y_1 = m_n(x - x_1). y - 0,6 = (25)/(4)(x - 3) y - (3)/(5) = (25)/(4)(x - 3) Multiplions par 20 pour éliminer les dénominateurs : 20y - 20((3)/(5)) = 20((25)/(4))(x - 3) 20y - 12 = 5 · 25(x - 3) 20y - 12 = 125(x - 3) 20y - 12 = 125x - 375 0 = 125x - 20y - 375 + 12 L'équation de la normale est 125x - 20y - 363 = 0. 3 done, 2 left today. You're making progress.