This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
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Voici la résolution de l'exercice. 1- Calculer U_1 et U_2. La suite (U_n) est définie par U_0 = 4 et U_n+1 = (3)/(4)U_n - 1. Step 1: Calculer U_1. On utilise la formule pour n=0: U_1 = (3)/(4)U_0 - 1 On substitue U_0 = 4: U_1 = (3)/(4)(4) - 1 U_1 = 3 - 1 U_1 = 2 Step 2: Calculer U_2. On utilise la formule pour n=1: U_2 = (3)/(4)U_1 - 1 On substitue U_1 = 2: U_2 = (3)/(4)(2) - 1 U_2 = (3)/(2) - 1 U_2 = (3)/(2) - (2)/(2) U_2 = (1)/(2) Les valeurs sont U_1 = 2 et U_2 = (1)/(2). 2- La suite géométrique (V_n) à termes positifs, de premier terme V_0, de raison q = (3)/(4) et telle que V_3 = (27)/(8). a) Justifier que V_0 = 8. La formule générale d'une suite géométrique est V_n = V_0 · q^n. Step 1: Écrire V_3 en fonction de V_0 et q. V_3 = V_0 · q^3 On substitue les valeurs données V_3 = (27)/(8) et q = (3)/(4): (27)/(8) = V_0 · ((3)/(4))^3 Step 2: Calculer ((3)/(4))^3 et résoudre pour V_0. (27)/(8) = V_0 · (3^3)/(4^3) (27)/(8) = V_0 · (27)/(64) Pour trouver V_0, on divise (27)/(8) par (27)/(64): V_0 = (27)/(8) ÷ (27)/(64) V_0 = (27)/(8) × (64)/(27) V_0 = (64)/(8) V_0 = 8 On a justifié que V_0 = 8. b) Exprimer V_n en fonction de n. La formule générale d'une suite géométrique est V_n = V_0 · q^n. Step 1: Substituer V_0 = 8 et q = (3)/(4) dans la formule. V_n = 8 · ((3)/(4))^n L'expression de V_n est V_n = 8 · ((3)/(4))^n. c) Déterminer _n + (V_n + 3). Step 1: Déterminer la limite de V_n quand n +. Puisque la raison q = (3)/(4) est comprise entre -1 et 1 (c'est-à-dire |q| < 1), la limite de q^n quand n + est 0. _n + V_n = _n + 8 · ((3)/(4))^n = 8 · 0 = 0 Step 2: Calculer la limite de (V_n + 3). _n + (V_n + 3) = _n + V_n + _n + 3 _n + (V_n + 3) = 0 + 3 _n + (V_n + 3) = 3 La limite est 3. 3- Soit (W_n)_n N une suite arithmétique de terme général W_n = (8 × ((3)/(4))^n) et de premier terme W_0 = 8. Déterminer, en fonction de 2 et de 3, la somme S = W_0 + W_1 + + W_5. Step 1: Simplifier l'expression de W_n et trouver la raison d de la suite arithmétique. On utilise les propriétés des logarithmes: (ab) = a + b et (a^b) = b a. W_n = (8 × ((3)/(4))^n) W_n = 8 + (((3)/(4))^n) W_n = 8 + n ((3)/(4)) W_n = 8 + n ( 3 - 4) W_n = 8 + n ( 3 - (2^2)) W_n = 8 + n ( 3 - 2 2) On sait que W_0 = 8. En utilisant W_n = W_0 + nd, la raison d est ( 3 - 2 2). On exprime W_0 en fonction de 2: W_0 = 8 = (2^3) = 3 2 Step 2: Calculer W_5 en fonction de 2 et 3. W_5 = W_0 + 5d W_5 = 3 2 + 5( 3 - 2 2) W_5 = 3 2 + 5 3 - 10 2 W_5 = 5 3 - 7 2 Step 3: Calculer la somme S = W_0 + W_1 + + W_5. Il y a 5 - 0 + 1 = 6 termes dans la somme. La formule de la somme d'une suite arithmétique est S_N = N(W_0 + W_N-1)2. Ici, N=6, donc S = (6(W_0 + W_5))/(2). S = 3(W_0 + W_5) S = 3(3 2 + (5 3 - 7 2)) S = 3(5 3 - 4 2) S = 15 3 - 12 2 La somme est S = 15 3 - 12 2. Envoie-moi la prochaine 📸