Exercice 1: 1- On considère la suite numérique (Un)n∈N définie par {U0 = 4, Un+1 = 3/4Un - 1 ; n∈N Calculer U1 et U2.

On substitue les valeurs données $V_3 = \frac{27}{8}$ et $q = \frac{3}{4}$:

Pour trouver $V_0$, on divise $\frac{27}{8}$ par $\frac{27}{64}$:

On a justifié que $\boxed{V_0 = 8}$.

L'expression de $V_n$ est $\boxed{V_n = 8 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^n}$.

Puisque la raison $q = \frac{3}{4}$ est comprise entre $-1$ et 1 (c'est-à-dire $|q| < 1$), la limite de $q^n$ quand $n \to +\infty$ est 0.

La limite est $\boxed{3}$.

3- Soit $(W_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite arithmétique de terme général $W_n = \ln\left(8 \times \left(\frac{3}{4}\right)^n\right)$ et de premier terme $W_0 = \ln 8$. Déterminer, en fonction de $\ln 2$ et de $\ln 3$, la somme $S = W_0 + W_1 + \dots + W_5$.

On utilise les propriétés des logarithmes: $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ et $\ln(a^b) = b \ln a$.

On sait que $W_0 = \ln 8$. En utilisant $W_n = W_0 + nd$, la raison $d$ est $(\ln 3 - 2 \ln 2)$.
On exprime $W_0$ en fonction de $\ln 2$:

Il y a $5 - 0 + 1 = 6$ termes dans la somme. La formule de la somme d'une suite arithmétique est $S_N = \frac{N(W_0 + W_{N-1})}{2}$.
Ici, $N=6$, donc $S = \frac{6(W_0 + W_5)}{2}$.

La somme est $\boxed{S = 15 \ln 3 - 12 \ln 2}$.