Exercice 1: Déterminer la valeur de k pour laquelle f est continue au point 0.

من تعريف الدالة، لدينا $f(0) = 0$. إذن، الدالة معرفة عند $x=0$.

نحسب $\lim_{x \to 0^-} f(x)$:

هذه صيغة غير معينة من النوع $\frac{0}{0}$. يمكننا استخدام قاعدة لوبيتال (L'Hôpital's Rule):

إذن، $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0$.

نحسب $\lim_{x \to 0^+} f(x)$:

هذه أيضًا صيغة غير معينة من النوع $\frac{0}{0}$. نضرب البسط والمقام في مرافق البسط:

نختصر $x$ من البسط والمقام (بما أن $x \neq 0$):

الآن نعوض $x=0$:

إذن، $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$.

لقد وجدنا أن:

• $f(0) = 0$
• $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0$
• $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$

بما أن $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 0$، فإن الدالة $f$ مستمرة عند النقطة 0.