EXERCICE IV. On considère la fonction numérique f définie par : f(x) = (x + 1) In|x|. On note (C) la courbe représentative de f dans un plan rapporté à un repère orthonormé (O; i, j) d'unité 1cm. 1°/ a)- Déterminer le domaine de définition Df. b) - Calculer les limites aux bornes de Df.

Ho an'ny $x \in D_g$, $g'(x) = \frac{d}{dx}\left(1 - \frac{1}{x} + \ln|x|\right)$.
Raha $x > 0$, $\ln|x| = \ln x$, ka $g'(x) = 0 - (-\frac{1}{x^2}) + \frac{1}{x} = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x} = \frac{1+x}{x^2}$.
Raha $x < 0$, $\ln|x| = \ln(-x)$, ka $g'(x) = 0 - (-\frac{1}{x^2}) + \frac{1}{-x} \times (-1) = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x} = \frac{1+x}{x^2}$.
Noho izany, ho an'ny $x \in D_g$, $g'(x) = \frac{1+x}{x^2}$.

Ny dénominateur $x^2$ dia tsara foana ho an'ny $x \neq 0$.
Ny famantarana an'ny $g'(x)$ dia miankina amin'ny famantarana an'ny $1+x$.
$1+x > 0 \implies x > -1$.
$1+x < 0 \implies x < -1$.
$1+x = 0 \implies x = -1$.

• $\lim_{x \to +\infty} g(x) = \lim_{x \to +\infty} \left(1 - \frac{1}{x} + \ln x\right) = 1 - 0 + (+\infty) = +\infty$.
• $\lim_{x \to -\infty} g(x) = \lim_{x \to -\infty} \left(1 - \frac{1}{x} + \ln(-x)\right) = 1 - 0 + (+\infty) = +\infty$.
• $\lim_{x \to 0^+} g(x) = \lim_{x \to 0^+} \left(1 - \frac{1}{x} + \ln x\right) = 1 - (+\infty) + (-\infty) = -\infty$.
• $\lim_{x \to 0^-} g(x) = \lim_{x \to 0^-} \left(1 - \frac{1}{x} + \ln(-x)\right)$. Aoka $X = -x$. Rehefa $x \to 0^-$, $X \to 0^+$. $\lim_{X \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{X} + \ln X\right) = 1 + (+\infty) + (-\infty)$. Satria $\lim_{X \to 0^+} X \ln X = 0$, dia $\lim_{X \to 0^+} \left(\frac{1}{X} + \ln X\right) = \lim_{X \to 0^+} \frac{1 + X \ln X}{X} = \frac{1}{0^+} = +\infty$. Noho izany, $\lim_{x \to 0^-} g(x) = +\infty$.

$g(-1) = \frac{-1-1}{-1} + \ln|-1| = \frac{-2}{-1} + \ln(1) = 2 + 0 = 2$.

2°/ b) Calculer $g(-1)$ et préciser le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$.
Efa voakajy fa $\boxed{g(-1) = 2}$.
Avy amin'ny tableau de variation:

• Ho an'ny $x \in (-\infty, 0)$, $g(x)$ dia mihena avy amin'ny $+\infty$ mankany 2, avy eo miakatra mankany $+\infty$. Noho izany, $g(x) \ge 2$. Ka ho an'ny $x \in (-\infty, 0)$, $\boxed{g(x) > 0}$.
• Ho an'ny $x \in (0, +\infty)$, $g(x)$ dia miakatra avy amin'ny $-\infty$ mankany $+\infty$. Kajio $g(1) = \frac{1-1}{1} + \ln|1| = 0 + 0 = 0$. Noho izany, $g(x) = 0$ rehefa $x=1$. Ka ho an'ny $x \in (0, 1)$, $\boxed{g(x) < 0}$. Ary ho an'ny $x \in (1, +\infty)$, $\boxed{g(x) > 0}$.

3°/ a) Calculer $f'(x)$ et l'exprimer en fonction de $g(x)$.
$f(x) = (x+1) \ln|x|$.
Ampiasao ny fitsipiky ny dérivée an'ny produit $(uv)' = u'v + uv'$ miaraka amin'ny $u(x) = x+1$ sy $v(x) = \ln|x|$.
$u'(x) = 1$ ary $v'(x) = \frac{1}{x}$.

Fantatsika fa $g(x) = \frac{x-1}{x} + \ln|x| = 1 - \frac{1}{x} + \ln|x|$.
Azo soratana hoe $f'(x) = \left(1 - \frac{1}{x} + \ln|x|\right) + \frac{2}{x}$.
Noho izany, $\boxed{f'(x) = g(x) + \frac{2}{x}}$.

3°/ b) Dresser le tableau de variation de $f$.
Diniho ny famantarana an'ny $f'(x) = g(x) + \frac{2}{x}$.

• Raha $x \in (-\infty, 0)$: Fantatsika fa $g(x) > 0$ ary $\frac{2}{x} < 0$. Kajio $f'(-1) = g(-1) + \frac{2}{-1} = 2 - 2 = 0$. Kajio ny $f''(x) = \frac{d}{dx}\left(1 + \frac{1}{x} + \ln|x|\right) = -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x} = \frac{x-1}{x^2}$. Ho an'ny $x < 0$, $x-1 < 0$ ary $x^2 > 0$, ka $f''(x) < 0$. Midika izany fa mihena ny $f'(x)$ amin'ny $(-\infty, 0)$. Satria $f'(-1) = 0$ ary $f'(x)$ mihena amin'ny $(-\infty, 0)$: Ho an'ny $x < -1$, $f'(x) > 0$. Ho an'ny $x \in (-1, 0)$, $f'(x) < 0$.

• Raha $x \in (0, +\infty)$: Fantatsika fa $\frac{2}{x} > 0$. Avy amin'ny 2b), $g(x) < 0$ ho an'ny $x \in (0, 1)$, $g(1) = 0$, ary $g(x) > 0$ ho an'ny $x \in (1, +\infty)$. Kajio $f'(1) = g(1) + \frac{2}{1} = 0 + 2 = 2$. Ho an'ny $x \in (0, +\infty)$, $f''(x) = \frac{x-1}{x^2}$. Ho an'ny $x \in (0, 1)$, $f''(x) < 0$, ka mihena ny $f'(x)$. Ho an'ny $x \in (1, +\infty)$, $f''(x) > 0$, ka miakatra ny $f'(x)$. Ny $f'(x)$ dia manana minimum amin'ny $x=1$, ary ny sandany dia $f'(1) = 2$. Noho izany, ho an'ny $x \in (0, +\infty)$, $f'(x) > 0$.

Famintinana ny famantarana an'ny $f'(x)$:

• Ho an'ny $x \in (-\infty, -1)$, $f'(x) > 0$.
• Ho an'ny $x = -1$, $f'(x) = 0$.
• Ho an'ny $x \in (-1, 0)$, $f'(x) < 0$.
• Ho an'ny $x \in (0, +\infty)$, $f'(x) > 0$.

Sandan'ny $f(x)$ amin'ny teboka manan-danja:

• $f(-1) = (-1+1) \ln|-1| = 0 \cdot \ln(1) = 0$.

Tableau de variation an'ny $f(x)$:

4°/ a) Montrer que le point $I(1, 0)$ est un point d'inflexion pour la courbe (C).
Ny teboka inflexion dia miseho rehefa miova famantarana ny dérivée faharoa $f''(x)$.
Efa voakajy fa $f''(x) = \frac{x-1}{x^2}$.
Diniho ny famantarana an'ny $f''(x)$:

• Ny dénominateur $x^2$ dia tsara foana ho an'ny $x \neq 0$.
• Ny famantarana an'ny $f''(x)$ dia miankina amin'ny famantarana an'ny $x-1$.
  • Raha $x < 1$ (ary $x \neq 0$), $x-1 < 0$, ka $f''(x) < 0$.
  • Raha $x > 1$, $x-1 > 0$, ka $f''(x) > 0$.
  • Raha $x = 1$, $f''(x) = 0$. Satria miova famantarana ny $f''(x)$ amin'ny $x=1$, dia teboka inflexion ny teboka mifanaraka amin'ny $x=1$. Kajio ny coordonnées an'io teboka io: $f(1) = (1+1) \ln|1| = 2 \cdot 0 = 0$. Noho izany, ny teboka $\boxed{I(1, 0)}$ dia teboka inflexion ho an'ny courbe (C).

4°/ b) Donner une équation de la tangente (T) à (C) au point I.
Ny équation an'ny tangente (T) amin'ny teboka $(x_0, f(x_0))$ dia $y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$.
Eto, $x_0 = 1$ ary $f(x_0) = f(1) = 0$.
Kajio ny $f'(1)$: $f'(1) = 1 + \frac{1}{1} + \ln|1| = 1 + 1 + 0 = 2$.
Noho izany, ny équation an'ny tangente (T) dia:

4°/ c) Étudier les branches infinies de (C).

• Asymptote verticale: Efa voakajy fa $\lim_{x \to 0^-} f(x) = -\infty$ ary $\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty$. Midika izany fa ny droite d'équation $\boxed{x=0}$ (axe des ordonnées) dia asymptote verticale ho an'ny courbe (C).

• Branches paraboliques en $+\infty$ sy $-\infty$: $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$. Dini