EXERCICE IV. On considère la fonction numérique f définie par : f(x) = (x + 1) In|x|. On note (C) la courbe représentative de f dans un plan rapporté à un repère orthonormé (O; i, j) d'unité 1cm. 1°/ a)- Déterminer le domaine de définition Df. b) - Calculer les limites aux bornes de Df.

Question

Asked on July 14, 2026Mathematics

This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.

Accepted Answer · 2026-07-14T14:15:02.691Z

Ity ny vahaolana ho an'ny fanazaran-tena IV. EXERCICE IV (5 points) 1°/ a) Déterminer le domaine de définition D_f. Ny fampiasa f(x) = (x+1) |x| dia voafaritra raha toa ka voafaritra ny |x|. Ny |x| dia voafaritra raha |x| > 0, izany hoe x ≠ 0. Noho izany, ny domaine de définition dia D_f = R \0\. 1°/ b) Calculer les limites aux bornes de D_f. Ny bornes an'ny D_f dia -, 0^-, 0^+, +. _x + f(x) = _x + (x+1) |x| Rehefa x +, x+1 + ary |x| = x +. Noho izany, _x + f(x) = +. _x - f(x) = _x - (x+1) |x| Aoka X = -x. Rehefa x -, X +. f(x) = (-X+1) |-X| = (-X+1) X. _X + (-X+1) X = _X + (-X X + X). Rehefa X +, -X X - ary X +. Ny terme -X X no manjaka. Noho izany, _x - f(x) = -. _x 0^+ f(x) = _x 0^+ (x+1) |x| Rehefa x 0^+, x+1 1 ary |x| = x -. Noho izany, _x 0^+ f(x) = -. _x 0^- f(x) = _x 0^- (x+1) |x| Rehefa x 0^-, x+1 1 ary |x| = (-x) -. Noho izany, _x 0^- f(x) = -. 2°/ Soit g(x) = (x-1)/(x) + |x|. 2°/ a) Étudier les variations de g. (On ne demande pas la courbe représentative de g). Ny domaine de définition an'ny g dia D_g = R \0\. Azo soratana hoe g(x) = 1 - (1)/(x) + |x|. Step 1: Kajio ny dérivée g'(x). Ho an'ny x D_g, g'(x) = (d)/(dx)(1 - (1)/(x) + |x|). Raha x > 0, |x| = x, ka g'(x) = 0 - (-(1)/(x^2)) + (1)/(x) = (1)/(x^2) + (1)/(x) = (1+x)/(x^2). Raha x < 0, |x| = (-x), ka g'(x) = 0 - (-(1)/(x^2)) + (1)/(-x) × (-1) = (1)/(x^2) + (1)/(x) = (1+x)/(x^2). Noho izany, ho an'ny x D_g, g'(x) = (1+x)/(x^2). Step 2: Diniho ny famantarana an'ny g'(x). Ny dénominateur x^2 dia tsara foana ho an'ny x ≠ 0. Ny famantarana an'ny g'(x) dia miankina amin'ny famantarana an'ny 1+x. 1+x > 0 x > -1. 1+x < 0 x < -1. 1+x = 0 x = -1. Step 3: Kajio ny limites an'ny g(x) any amin'ny bornes an'ny D_g. _x + g(x) = _x + (1 - (1)/(x) + x) = 1 - 0 + (+) = +. _x - g(x) = _x - (1 - (1)/(x) + (-x)) = 1 - 0 + (+) = +. _x 0^+ g(x) = _x 0^+ (1 - (1)/(x) + x) = 1 - (+) + (-) = -. _x 0^- g(x) = _x 0^- (1 - (1)/(x) + (-x)). Aoka X = -x. Rehefa x 0^-, X 0^+. _X 0^+ (1 + (1)/(X) + X) = 1 + (+) + (-). Satria _X 0^+ X X = 0, dia _X 0^+ ((1)/(X) + X) = _X 0^+ (1 + X X)/(X) = (1)/(0^+) = +. Noho izany, _x 0^- g(x) = +. Step 4: Kajio ny sandan'ny g(-1). g(-1) = (-1-1)/(-1) + |-1| = (-2)/(-1) + (1) = 2 + 0 = 2. Step 5: Ataovy ny tableau de variation an'ny g(x). |c|ccccccc| x & - & & -1 & & 0 & & + \\ 1+x & & - & 0 & + & | & + & \\ x^2 & & + & | & + & 0 & + & \\ g'(x) & & - & 0 & + & | & + & \\ g(x) & + & & 2 & & + & & + \\ 2°/ b) Calculer g(-1) et préciser le signe de g(x) suivant les valeurs de x. Efa voakajy fa g(-1) = 2. Avy amin'ny tableau de variation: Ho an'ny x (-, 0), g(x) dia mihena avy amin'ny + mankany 2, avy eo miakatra mankany +. Noho izany, g(x) 2. Ka ho an'ny x (-, 0), g(x) > 0. Ho an'ny x (0, +), g(x) dia miakatra avy amin'ny - mankany +. Kajio g(1) = (1-1)/(1) + |1| = 0 + 0 = 0. Noho izany, g(x) = 0 rehefa x=1. Ka ho an'ny x (0, 1), g(x) < 0. Ary ho an'ny x (1, +), g(x) > 0. 3°/ a) Calculer f'(x) et l'exprimer en fonction de g(x). f(x) = (x+1) |x|. Ampiasao ny fitsipiky ny dérivée an'ny produit (uv)' = u'v + uv' miaraka amin'ny u(x) = x+1 sy v(x) = |x|. u'(x) = 1 ary v'(x) = (1)/(x). f'(x) = 1 · |x| + (x+1) · (1)/(x) f'(x) = |x| + (x+1)/(x) f'(x) = |x| + 1 + (1)/(x) Fantatsika fa g(x) = (x-1)/(x) + |x| = 1 - (1)/(x) + |x|. Azo soratana hoe f'(x) = (1 - (1)/(x) + |x|) + (2)/(x). Noho izany, f'(x) = g(x) + (2)/(x). 3°/ b) Dresser le tableau de variation de f. Diniho ny famantarana an'ny f'(x) = g(x) + (2)/(x). Raha x (-, 0): Fantatsika fa g(x) > 0 ary (2)/(x) < 0. Kajio f'(-1) = g(-1) + (2)/(-1) = 2 - 2 = 0. Kajio ny f''(x) = (d)/(dx)(1 + (1)/(x) + |x|) = -(1)/(x^2) + (1)/(x) = (x-1)/(x^2). Ho an'ny x < 0, x-1 < 0 ary x^2 > 0, ka f''(x) < 0. Midika izany fa mihena ny f'(x) amin'ny (-, 0). Satria f'(-1) = 0 ary f'(x) mihena amin'ny (-, 0): Ho an'ny x < -1, f'(x) > 0. Ho an'ny x (-1, 0), f'(x) < 0. Raha x (0, +): Fantatsika fa (2)/(x) > 0. Avy amin'ny 2b), g(x) < 0 ho an'ny x (0, 1), g(1) = 0, ary g(x) > 0 ho an'ny x (1, +). Kajio f'(1) = g(1) + (2)/(1) = 0 + 2 = 2. Ho an'ny x (0, +), f''(x) = (x-1)/(x^2). Ho an'ny x (0, 1), f''(x) < 0, ka mihena ny f'(x). Ho an'ny x (1, +), f''(x) > 0, ka miakatra ny f'(x). Ny f'(x) dia manana minimum amin'ny x=1, ary ny sandany dia f'(1) = 2. Noho izany, ho an'ny x (0, +), f'(x) > 0. Famintinana ny famantarana an'ny f'(x): Ho an'ny x (-, -1), f'(x) > 0. Ho an'ny x = -1, f'(x) = 0. Ho an'ny x (-1, 0), f'(x) < 0. Ho an'ny x (0, +), f'(x) > 0. Sandan'ny f(x) amin'ny teboka manan-danja: f(-1) = (-1+1) |-1| = 0 · (1) = 0. Tableau de variation an'ny f(x): |c|ccccccc| x & - & & -1 & & 0 & & + \\ f'(x) & & + & 0 & - & | & + & \\ f(x) & - & & 0 & & - & & + \\ 4°/ a) Montrer que le point I(1, 0) est un point d'inflexion pour la courbe (C). Ny teboka inflexion dia miseho rehefa miova famantarana ny dérivée faharoa f''(x). Efa voakajy fa f''(x) = (x-1)/(x^2). Diniho ny famantarana an'ny f''(x): Ny dénominateur x^2 dia tsara foana ho an'ny x ≠ 0. Ny famantarana an'ny f''(x) dia miankina amin'ny famantarana an'ny x-1. Raha x < 1 (ary x ≠ 0), x-1 < 0, ka f''(x) < 0. Raha x > 1, x-1 > 0, ka f''(x) > 0. Raha x = 1, f''(x) = 0. Satria miova famantarana ny f''(x) amin'ny x=1, dia teboka inflexion ny teboka mifanaraka amin'ny x=1. Kajio ny coordonnées an'io teboka io: f(1) = (1+1) |1| = 2 · 0 = 0. Noho izany, ny teboka I(1, 0) dia teboka inflexion ho an'ny courbe (C). 4°/ b) Donner une équation de la tangente (T) à (C) au point I. Ny équation an'ny tangente (T) amin'ny teboka (x_0, f(x_0)) dia y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0). Eto, x_0 = 1 ary f(x_0) = f(1) = 0. Kajio ny f'(1): f'(1) = 1 + (1)/(1) + |1| = 1 + 1 + 0 = 2. Noho izany, ny équation an'ny tangente (T) dia: y - 0 = 2(x - 1) y = 2x - 2 4°/ c) Étudier les branches infinies de (C). Asymptote verticale: Efa voakajy fa _x 0^- f(x) = - ary _x 0^+ f(x) = -. Midika izany fa ny droite d'équation x=0 (axe des ordonnées) dia asymptote verticale ho an'ny courbe (C). Branches paraboliques en + sy -: _x + f(x) = +. Dini ✂️ _That answer was long and got cut off. Reply continue and I'll finish it._

Accepted Answer · 2026-07-14T14:15:02.691Z

Ity ny vahaolana ho an'ny fanazaran-tena IV. EXERCICE IV (5 points) 1°/ a) Déterminer le domaine de définition D_f. Ny fampiasa f(x) = (x+1) |x| dia voafaritra raha toa ka voafaritra ny |x|. Ny |x| dia voafaritra raha |x| > 0, izany hoe x ≠ 0. Noho izany, ny domaine de définition dia D_f = R \0\. 1°/ b) Calculer les limites aux bornes de D_f. Ny bornes an'ny D_f dia -, 0^-, 0^+, +. _x + f(x) = _x + (x+1) |x| Rehefa x +, x+1 + ary |x| = x +. Noho izany, _x + f(x) = +. _x - f(x) = _x - (x+1) |x| Aoka X = -x. Rehefa x -, X +. f(x) = (-X+1) |-X| = (-X+1) X. _X + (-X+1) X = _X + (-X X + X). Rehefa X +, -X X - ary X +. Ny terme -X X no manjaka. Noho izany, _x - f(x) = -. _x 0^+ f(x) = _x 0^+ (x+1) |x| Rehefa x 0^+, x+1 1 ary |x| = x -. Noho izany, _x 0^+ f(x) = -. _x 0^- f(x) = _x 0^- (x+1) |x| Rehefa x 0^-, x+1 1 ary |x| = (-x) -. Noho izany, _x 0^- f(x) = -. 2°/ Soit g(x) = (x-1)/(x) + |x|. 2°/ a) Étudier les variations de g. (On ne demande pas la courbe représentative de g). Ny domaine de définition an'ny g dia D_g = R \0\. Azo soratana hoe g(x) = 1 - (1)/(x) + |x|. Step 1: Kajio ny dérivée g'(x). Ho an'ny x D_g, g'(x) = (d)/(dx)(1 - (1)/(x) + |x|). Raha x > 0, |x| = x, ka g'(x) = 0 - (-(1)/(x^2)) + (1)/(x) = (1)/(x^2) + (1)/(x) = (1+x)/(x^2). Raha x < 0, |x| = (-x), ka g'(x) = 0 - (-(1)/(x^2)) + (1)/(-x) × (-1) = (1)/(x^2) + (1)/(x) = (1+x)/(x^2). Noho izany, ho an'ny x D_g, g'(x) = (1+x)/(x^2). Step 2: Diniho ny famantarana an'ny g'(x). Ny dénominateur x^2 dia tsara foana ho an'ny x ≠ 0. Ny famantarana an'ny g'(x) dia miankina amin'ny famantarana an'ny 1+x. 1+x > 0 x > -1. 1+x < 0 x < -1. 1+x = 0 x = -1. Step 3: Kajio ny limites an'ny g(x) any amin'ny bornes an'ny D_g. _x + g(x) = _x + (1 - (1)/(x) + x) = 1 - 0 + (+) = +. _x - g(x) = _x - (1 - (1)/(x) + (-x)) = 1 - 0 + (+) = +. _x 0^+ g(x) = _x 0^+ (1 - (1)/(x) + x) = 1 - (+) + (-) = -. _x 0^- g(x) = _x 0^- (1 - (1)/(x) + (-x)). Aoka X = -x. Rehefa x 0^-, X 0^+. _X 0^+ (1 + (1)/(X) + X) = 1 + (+) + (-). Satria _X 0^+ X X = 0, dia _X 0^+ ((1)/(X) + X) = _X 0^+ (1 + X X)/(X) = (1)/(0^+) = +. Noho izany, _x 0^- g(x) = +. Step 4: Kajio ny sandan'ny g(-1). g(-1) = (-1-1)/(-1) + |-1| = (-2)/(-1) + (1) = 2 + 0 = 2. Step 5: Ataovy ny tableau de variation an'ny g(x). |c|ccccccc| x & - & & -1 & & 0 & & + \\ 1+x & & - & 0 & + & | & + & \\ x^2 & & + & | & + & 0 & + & \\ g'(x) & & - & 0 & + & | & + & \\ g(x) & + & & 2 & & + & & + \\ 2°/ b) Calculer g(-1) et préciser le signe de g(x) suivant les valeurs de x. Efa voakajy fa g(-1) = 2. Avy amin'ny tableau de variation: Ho an'ny x (-, 0), g(x) dia mihena avy amin'ny + mankany 2, avy eo miakatra mankany +. Noho izany, g(x) 2. Ka ho an'ny x (-, 0), g(x) > 0. Ho an'ny x (0, +), g(x) dia miakatra avy amin'ny - mankany +. Kajio g(1) = (1-1)/(1) + |1| = 0 + 0 = 0. Noho izany, g(x) = 0 rehefa x=1. Ka ho an'ny x (0, 1), g(x) < 0. Ary ho an'ny x (1, +), g(x) > 0. 3°/ a) Calculer f'(x) et l'exprimer en fonction de g(x). f(x) = (x+1) |x|. Ampiasao ny fitsipiky ny dérivée an'ny produit (uv)' = u'v + uv' miaraka amin'ny u(x) = x+1 sy v(x) = |x|. u'(x) = 1 ary v'(x) = (1)/(x). f'(x) = 1 · |x| + (x+1) · (1)/(x) f'(x) = |x| + (x+1)/(x) f'(x) = |x| + 1 + (1)/(x) Fantatsika fa g(x) = (x-1)/(x) + |x| = 1 - (1)/(x) + |x|. Azo soratana hoe f'(x) = (1 - (1)/(x) + |x|) + (2)/(x). Noho izany, f'(x) = g(x) + (2)/(x). 3°/ b) Dresser le tableau de variation de f. Diniho ny famantarana an'ny f'(x) = g(x) + (2)/(x). Raha x (-, 0): Fantatsika fa g(x) > 0 ary (2)/(x) < 0. Kajio f'(-1) = g(-1) + (2)/(-1) = 2 - 2 = 0. Kajio ny f''(x) = (d)/(dx)(1 + (1)/(x) + |x|) = -(1)/(x^2) + (1)/(x) = (x-1)/(x^2). Ho an'ny x < 0, x-1 < 0 ary x^2 > 0, ka f''(x) < 0. Midika izany fa mihena ny f'(x) amin'ny (-, 0). Satria f'(-1) = 0 ary f'(x) mihena amin'ny (-, 0): Ho an'ny x < -1, f'(x) > 0. Ho an'ny x (-1, 0), f'(x) < 0. Raha x (0, +): Fantatsika fa (2)/(x) > 0. Avy amin'ny 2b), g(x) < 0 ho an'ny x (0, 1), g(1) = 0, ary g(x) > 0 ho an'ny x (1, +). Kajio f'(1) = g(1) + (2)/(1) = 0 + 2 = 2. Ho an'ny x (0, +), f''(x) = (x-1)/(x^2). Ho an'ny x (0, 1), f''(x) < 0, ka mihena ny f'(x). Ho an'ny x (1, +), f''(x) > 0, ka miakatra ny f'(x). Ny f'(x) dia manana minimum amin'ny x=1, ary ny sandany dia f'(1) = 2. Noho izany, ho an'ny x (0, +), f'(x) > 0. Famintinana ny famantarana an'ny f'(x): Ho an'ny x (-, -1), f'(x) > 0. Ho an'ny x = -1, f'(x) = 0. Ho an'ny x (-1, 0), f'(x) < 0. Ho an'ny x (0, +), f'(x) > 0. Sandan'ny f(x) amin'ny teboka manan-danja: f(-1) = (-1+1) |-1| = 0 · (1) = 0. Tableau de variation an'ny f(x): |c|ccccccc| x & - & & -1 & & 0 & & + \\ f'(x) & & + & 0 & - & | & + & \\ f(x) & - & & 0 & & - & & + \\ 4°/ a) Montrer que le point I(1, 0) est un point d'inflexion pour la courbe (C). Ny teboka inflexion dia miseho rehefa miova famantarana ny dérivée faharoa f''(x). Efa voakajy fa f''(x) = (x-1)/(x^2). Diniho ny famantarana an'ny f''(x): Ny dénominateur x^2 dia tsara foana ho an'ny x ≠ 0. Ny famantarana an'ny f''(x) dia miankina amin'ny famantarana an'ny x-1. Raha x < 1 (ary x ≠ 0), x-1 < 0, ka f''(x) < 0. Raha x > 1, x-1 > 0, ka f''(x) > 0. Raha x = 1, f''(x) = 0. Satria miova famantarana ny f''(x) amin'ny x=1, dia teboka inflexion ny teboka mifanaraka amin'ny x=1. Kajio ny coordonnées an'io teboka io: f(1) = (1+1) |1| = 2 · 0 = 0. Noho izany, ny teboka I(1, 0) dia teboka inflexion ho an'ny courbe (C). 4°/ b) Donner une équation de la tangente (T) à (C) au point I. Ny équation an'ny tangente (T) amin'ny teboka (x_0, f(x_0)) dia y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0). Eto, x_0 = 1 ary f(x_0) = f(1) = 0. Kajio ny f'(1): f'(1) = 1 + (1)/(1) + |1| = 1 + 1 + 0 = 2. Noho izany, ny équation an'ny tangente (T) dia: y - 0 = 2(x - 1) y = 2x - 2 4°/ c) Étudier les branches infinies de (C). Asymptote verticale: Efa voakajy fa _x 0^- f(x) = - ary _x 0^+ f(x) = -. Midika izany fa ny droite d'équation x=0 (axe des ordonnées) dia asymptote verticale ho an'ny courbe (C). Branches paraboliques en + sy -: _x + f(x) = +. Dini ✂️ _That answer was long and got cut off. Reply continue and I'll finish it._

EXERCICE IV. On considère la fonction numérique f définie par : f(x) = (x + 1) In|x|. On note (C) la courbe représentative de f dans un plan rapporté à un repère orthonormé (O; i, j) d'unité 1cm. 1°/ a)- Déterminer le domaine de définition Df. b) - Calculer les limites aux bornes de Df.

Need help with your own homework?

More Mathematics Questions

EXERCICE IV. On considère la fonction numérique f définie par : f(x) = (x + 1) In|x|. On note (C) la courbe représentative de f dans un plan rapporté à un repère orthonormé (O; i, j) d'unité 1cm. 1°/ a)- Déterminer le domaine de définition Df. b) - Calculer les limites aux bornes de Df.

Need help with your own homework?

More Mathematics Questions