Express the complex number z = rac2-i1+2i in the form a+bi and calculate |z3| and (z2).

Michou, let's knock this out. 4. (a) (i) Express z in the form a+bi. Nous avons z = (2-i)/(1+2i). Pour l'exprimer sous la forme a+bi, nous multiplions le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur, qui est 1-2i. z = (2-i)/(1+2i) × (1-2i)/(1-2i) Multiplions les numérateurs : (2-i)(1-2i) = 2(1) + 2(-2i) - i(1) - i(-2i) = 2 - 4i - i + 2i^2 Puisque i^2 = -1: = 2 - 5i - 2 = -5i Multiplions les dénominateurs : (1+2i)(1-2i) = 1^2 - (2i)^2 = 1 - 4i^2 Puisque i^2 = -1: = 1 - 4(-1) = 1 + 4 = 5 Donc, z = (-5i)/(5) = -i Sous la forme a+bi: z = 0 - i 4. (a) (ii) Calculate |z^3| and (z^2). À partir de z = -i: Le module de z est |z| = sqrt(0^2 + (-1)^2) = sqrt(1) = 1. L'argument principal de z est (z) = -()/(2) (car z est sur l'axe imaginaire négatif). Calculons |z^3|: En utilisant la propriété |z^n| = |z|^n: |z^3| = |z|^3 = (1)^3 = 1 |z^3| = 1 Calculons (z^2): En utilisant la propriété (z^n) = n · (z) (modulo 2): (z^2) = 2 · (z) = 2 · (-()/(2)) = - L'argument principal est généralement dans l'intervalle (-, ]. Dans cet intervalle, - est équivalent à . Alternativement, calculons z^2 d'abord: z^2 = (-i)^2 = i^2 = -1 Pour z^2 = -1, le nombre est sur l'axe réel négatif. L'argument principal de -1 est . (z^2) = 4. (b) Show that a root of the equation 2x^3 - 5x + 1 = 0 lies in the interval 1 x 2. Taking 1.5 as first approximate, use the Newton-Raphson method once to find the second approximate to 3dp. Soit f(x) = 2x^3 - 5x + 1. Pour montrer qu'une racine se trouve dans l'intervalle 1 x 2, nous évaluons f(x) aux bornes de l'intervalle : f(1) = 2(1)^3 - 5(1) + 1 = 2 - 5 + 1 = -2 f(2) = 2(2)^3 - 5(2) + 1 = 2(8) - 10 + 1 = 16 - 10 + 1 = 7 Puisque f(1) = -2 (négatif) et f(2) = 7 (positif), et que f(x) est une fonction continue (étant un polynôme), le Théorème des Valeurs Intermédiaires garantit qu'il existe au moins une racine dans l'intervalle [1, 2]. Maintenant, utilisons la méthode de Newton-Raphson. La formule de Newton-Raphson est x_n+1 = x_n - (f(x_n))/(f'(x_n)). Nous avons f(x) = 2x^3 - 5x + 1. Calculons la dérivée f'(x): f'(x) = (d)/(dx)(2x^3 - 5x + 1) = 6x^2 - 5 L'approximation initiale est x_0 = 1.5. Calculons f(x_0) et f'(x_0): f(1.5) = 2(1.5)^3 - 5(1.5) + 1 = 2(3.375) - 7.5 + 1 = 6.75 - 7.5 + 1 = 0.25 f'(1.5) = 6(1.5)^2 - 5 = 6(2.25) - 5 = 13.5 - 5 = 8.5 Appliquons la formule de Newton-Raphson pour trouver la deuxième approximation x_1: x_1 = x_0 - (f(x_0))/(f'(x_0)) x_1 = 1.5 - (0.25)/(8.5) x_1 = 1.5 - 0.02941176... x_1 = 1.47058823... Arrondissons à 3 décimales : x_1 ≈ 1.471 Envoie-moi la prochaine 📸