Express the complex number z = rac2−i1+2i in the form a+bi and calculate |z3| and (z2).

4. (a) (i) Express $z$ in the form $a+bi$.
Nous avons $z = \frac{2-i}{1+2i}$. Pour l'exprimer sous la forme $a+bi$, nous multiplions le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur, qui est $1-2i$.

$$z = \frac{2-i}{1+2i} \times \frac{1-2i}{1-2i}$$

Multiplions les numérateurs :

$$(2-i)(1-2i) = 2(1) + 2(-2i) - i(1) - i(-2i)$$ $$= 2 - 4i - i + 2i^2$$

Puisque $i^2 = -1$:

$$= 2 - 5i - 2 = -5i$$

Multiplions les dénominateurs :

$$(1+2i)(1-2i) = 1^2 - (2i)^2$$ $$= 1 - 4i^2$$

Puisque $i^2 = -1$:

$$= 1 - 4(-1) = 1 + 4 = 5$$

Donc,

$$z = \frac{-5i}{5} = -i$$

Sous la forme $a+bi$:

$$\boxed{z = 0 - i}$$

4. (a) (ii) Calculate $|z^3|$ and $\arg(z^2)$.
À partir de $z = -i$:
Le module de $z$ est $|z| = \sqrt{0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1} = 1$.
L'argument principal de $z$ est $\arg(z) = -\frac{\pi}{2}$ (car $z$ est sur l'axe imaginaire négatif).

Calculons $|z^3|$:
En utilisant la propriété $|z^n| = |z|^n$:

$$|z^3| = |z|^3 = (1)^3 = 1$$ $$\boxed{|z^3| = 1}$$

Calculons $\arg(z^2)$:
En utilisant la propriété $\arg(z^n) = n \cdot \arg(z)$ (modulo $2\pi$):

$$\arg(z^2) = 2 \cdot \arg(z) = 2 \cdot \left(-\frac{\pi}{2}\right) = -\pi$$

L'argument principal est généralement dans l'intervalle $(-\pi, \pi]$. Dans cet intervalle, $-\pi$ est équivalent à $\pi$.
Alternativement, calculons $z^2$ d'abord:

$$z^2 = (-i)^2 = i^2 = -1$$

Pour $z^2 = -1$, le nombre est sur l'axe réel négatif. L'argument principal de $-1$ est $\pi$.

$$\boxed{\arg(z^2) = \pi}$$

4. (b) Show that a root of the equation $2x^3 - 5x + 1 = 0$ lies in the interval $1 \le x \le 2$. Taking 1.5 as first approximate, use the Newton-Raphson method once to find the second approximate to 3dp.

Soit $f(x) = 2x^3 - 5x + 1$.
Pour montrer qu'une racine se trouve dans l'intervalle $1 \le x \le 2$, nous évaluons $f(x)$ aux bornes de l'intervalle :

$$f(1) = 2(1)^3 - 5(1) + 1 = 2 - 5 + 1 = -2$$ $$f(2) = 2(2)^3 - 5(2) + 1 = 2(8) - 10 + 1 = 16 - 10 + 1 = 7$$

Puisque $f(1) = -2$ (négatif) et $f(2) = 7$ (positif), et que $f(x)$ est une fonction continue (étant un polynôme), le Théorème des Valeurs Intermédiaires garantit qu'il existe au moins une racine dans l'intervalle $[1, 2]$.

Maintenant, utilisons la méthode de Newton-Raphson.
La formule de Newton-Raphson est $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$.
Nous avons $f(x) = 2x^3 - 5x + 1$.
Calculons la dérivée $f'(x)$:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 5x + 1) = 6x^2 - 5$$

L'approximation initiale est $x_0 = 1.5$.
Calculons $f(x_0)$ et $f'(x_0)$:

$$f(1.5) = 2(1.5)^3 - 5(1.5) + 1$$ $$= 2(3.375) - 7.5 + 1$$ $$= 6.75 - 7.5 + 1 = 0.25$$ $$f'(1.5) = 6(1.5)^2 - 5$$ $$= 6(2.25) - 5$$ $$= 13.5 - 5 = 8.5$$

Appliquons la formule de Newton-Raphson pour trouver la deuxième approximation $x_1$:

$$x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$$ $$x_1 = 1.5 - \frac{0.25}{8.5}$$ $$x_1 = 1.5 - 0.02941176...$$ $$x_1 = 1.47058823...$$

Arrondissons à 3 décimales :

$$\boxed{x_1 \approx 1.471}$$