F: x 2x+3 and g: x x-1. Find F(2), g⁻¹(x), fg(x).

Pour trouver $F(2)$, nous substituons $x=2$ dans l'expression de $F(x)$.

$$F(2) = 2(2) + 3$$ $$F(2) = 4 + 3$$ $$F(2) = 7$$

La valeur de $F(2)$ est $\boxed{7}$.

Pour trouver la fonction inverse $g^{-1}(x)$, nous posons $y = g(x)$, puis nous échangeons $x$ et $y$ et résolvons pour $y$.
Soit $y = x-1$.
Échangeons $x$ et $y$:

$$x = y-1$$

Maintenant, résolvons pour $y$:

$$y = x+1$$

Donc, la fonction inverse est $g^{-1}(x) = x+1$.
La fonction inverse de $g(x)$ est $\boxed{g^{-1}(x) = x+1}$.

La notation $fg(x)$ représente la composition des fonctions $F(g(x))$. Nous substituons l'expression de $g(x)$ dans $F(x)$.

$$fg(x) = F(g(x))$$

Nous savons que $g(x) = x-1$.

$$fg(x) = F(x-1)$$

Maintenant, nous substituons $(x-1)$ à la place de $x$ dans l'expression de $F(x) = 2x+3$:

$$fg(x) = 2(x-1) + 3$$ $$fg(x) = 2x - 2 + 3$$ $$fg(x) = 2x + 1$$

La fonction composée $fg(x)$ est $\boxed{fg(x) = 2x+1}$.